微分の計算

微分を学ぶ理由

微分の方法

微分とは、「どれくらいの速さで変化しているか（変化率）」を求めるために、２つの点の間の変化（平均変化率）を求めます。
２つの点を限りなく近づけることで、瞬間の変化率を求めることができます。
このようにして求められる計算が微分です。

　

変化の割合（平均変化率）

平均変化率 \(= \frac{Δy}{Δx} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

瞬間の変化率（接線の傾き）

「\(\displaystyle \lim_{Δx \to 0} \frac{Δy}{Δx}\)」は、\(Δx\) を 0 に限りなく近づけたときの、\(\frac{Δy}{Δx}\)の値を求めるという意味です。

\(Δx\) を 0 に近づけると、割線の傾きは接線の傾きに近づきます。

　

計算例

③を式変形すると、\(x_2=x_1+Δx\)　となります。このとき、\(y_2\)は②式から、
\(y_2=(x_1+Δx)^2+1=x_1^2+2x_1Δx+Δx^2+1\)　…④

\(Δy\)は、\(y_2\)と\(y_1\)の差なので、①・④式から、
\(Δy=y_2-y_1=2x_1Δx+Δx^2\)　…⑤

⑤式を瞬間の変化率の式に代入すると、
\(\displaystyle \lim_{Δx \to 0} \frac{Δy}{Δx}=\lim_{Δx \to 0} \frac{2x_1Δx+Δx^2}{Δx}=\lim_{Δx \to 0} 2x_1+Δx=2x_1+0=2x_1\)

以上より、基本関数の微分の公式の\(x^2\)と、定数の微分についてまとめて示すことができました。

　

導関数と微分の記法

各点の微分係数を、\(x\) の関数としてまとめたものが 導関数\(f'(x)\) です。表の記法も同じ意味。問題によって使い分けます。

表記	意味・使う場面
\(f'(x)\)、\(y’\)	関数を微分した「導関数」。手早く書ける。
\(\frac{df(x)}{dx}\)、\(\frac{dy}{dx}\)	\(v(t)\)、\(i(t)\)等の複数の関数があるとき、どの関数をどの変数（時間\(t\)等）で微分するかを明確に示して微分するときに使用する。 \(\frac{df(x)}{dx}\)：関数\(f(x)\)を変数\(x\)で微分する。 \(\frac{dy}{dx}\)：関数\(y\)を変数\(x\)で微分する。 \(\frac{dv(t)}{dt}\)：電圧\(v(t)\)を時間\(t\)で微分する。 \(\frac{di(t)}{dt}\)：電流\(i(t)\)を時間\(t\)で微分する。

　

微分の公式一覧

電験三種の計算で使用する微分の公式を列挙します。（電験で使用しない公式は省略しています）

　

合成関数の微分

関数\(y=f(g(x))\)のとき、\(\frac{dy}{dx}=f'(g(x))・g'(x)\)
ここで、\(u=g(x)\)と置くと、\(y=f(g(x))\)は、外側の関数\(f(u)\)と内側の関数\(u\)で出来ていることがわかります。

合成関数の微分の方法は、３ステップで出来ます。
① 外側の関数\(f(u)\)を微分する（内側の関数はそのまま）  →　\(f'(u)\) が求まる
② 内側の関数\(u\)の微分を掛ける    →　\(u’\) が求まる
③ \(f'(u)\)・\(u’\)を求める

【例】\(y=(3x^2+1)^5\)　を実際に微分してみましょう。

① 外側の関数を微分：\(f(u)=(3x^2+1)^5\)　➡　\(f'(u)=5・(3x^2+1)^4\)
② 内側の関数を微分：\(u=3x^2+1\)　➡　\(u’=6x\)
③ \(f'(u)\)・\(u’\)を求める：\(\frac{dy}{dx}=f'(u)・u’=30x・(3x^2+1)^4\)

　

分数の微分

関数 \(y=\frac{f(x)}{g(x)}\)　のとき、\(\frac{dy}{dx}=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\)

\(y=\frac{f(x)}{g(x)}\)は、分子の関数\(f(x)\)と、分母の関数\(g(x)\)で出来ています。

分数の微分の方法は、４ステップで出来ます。
① 分子を微分\(f'(x)\) して、分母\(g(x)\) をそのまま掛ける  → \(f'(x)g(x)\) が求まる
② 分子はそのまま\(f(x)\) で、分母の微分\(g'(x)\) を掛ける  → \(f(x)g'(x)\) が求まる
③ ①から②を引いて分子とする
④ 分母を二乗する
⑤ ③と④をまとめる

【例】\(y=\frac{x}{x^2+1}\)　を実際に微分してみましょう。

分子：\(f(x)=x\)  →　\(f'(x)=1\)
分母：\(g(x)=x^2+1\)　→　\(g'(x)=2x\)

① \(f'(x)g(x)=x^2+1\) が求められる
② \(f(x)g'(x)=x・2x=2x^2\) が求められる
③ ①から②を引いて分子とする \(f'(x)g(x)-f(x)g'(x)=x^2+1-2x^2=-x^2+1\)
④ 分母を二乗する \((g(x))^2=(x^2+1)^2\)
⑤ まとめると、\(\frac{dy}{dx}=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}=\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}\)

　

練習問題

(1) \(y=5x^3+3x^2+x+a+5\) を\(x\)について微分せよ。\(a\)は定数とする。（\(\frac{dy}{dx}\)）

(2) \(y=(r+R^2)^2\)を\(R\)について微分せよ。\(r\)は定数とする。（\(\frac{dy}{dR}\)）

(3) \(v(t)=100sin 50t[V]\)を微分せよ。（\(\frac{dv(t)}{dt}\)）

(4) \(i(t)=ke^{-st}\)を微分せよ。\(k\)・\(s\)は定数とする。（ \(\frac{di(t)}{dt}\)）

(5) \(P=\frac{RV^2}{(r+R)^2}\)を抵抗\(R\)について微分せよ。（\(\frac{dP}{dR}\)）

　

回答

(1) \(y=5x^3+3x^2+x+a+5\) を\(x\)について微分せよ。\(a\)は定数とする。（\(\frac{dy}{dx}\)）
　　\(\frac{dy}{dx}=5・3x^2+3・2x+1+0+0=15x^2+6x+1\)

(2) \(y=(r+R^2)^2\)を\(R\)について微分せよ。\(r\)は定数とする。（\(\frac{dy}{dR}\)）
　　\(\frac{dy}{dR}=2・(r+R^2)・2R=4R(r+R^2)\)

(3) \(v(t)=100sin 50t[V]\)を微分せよ。（\(\frac{dv(t)}{dt}\)）
　　\(\frac{dv(t)}{dt}=100・50cos 50t=5000cos 50t\)

(4) \(i(t)=ke^{-st}\)を微分せよ。\(k\)・\(s\)は定数とする。（ \(\frac{di(t)}{dt}\)）
　　\(\frac{di(t)}{dt}=k・(-se^{-st})=-ske^{-st}\)

(5) \(P=\frac{RV^2}{(r+R)^2}\)を抵抗\(R\)について微分せよ。（\(\frac{dP}{dR}\)）
　　\(\begin{eqnarray}
\frac{dP}{dR}&=&\frac{V^2(r+R)^2-RV^2・2(r+R)・1}{(r+R)^4} \\
&=&\frac{V^2(r+R) \{ (r+R)-2R \} }{(r+R)^4} \\
&=&\frac{r-R}{(r+R)^3}V^2
\end{eqnarray}\)

　

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