積分の基礎

積分を学ぶ理由

積分の方法

変化する値を、長方形で近似して足し合わせることで、全体の総量を求めることができます。
ただし、長方形の横幅が大きいと誤差が発生してしまうため、横幅を限りなく\(0\)に近づけることで、精確な積分をすることができます。

　

面積を長方形で近似する

1.～3.をすることで、「走った距離 \(d[m]=\)長方形の面積の合計」を求めることができます。
しかし、右図からわかる通り、連続的な変化をする速度に対して一定間隔な速度を足し合わせるため、誤差が発生します。

　

長方形の横幅を限りなく0に近づける

　

積分の記法

表記	意味・使う場面
\(F(x)\)	原始関数と呼びます。 \(F(x)\)を微分すると、導関数\(f(x)\)になります。 つまり、\(F'(x)=f(x)\)が成り立ちます。
\(\int dx\)	積分を意味する記号です。インテグラルと読みます。 \(\int dx\)であれば、\(x\)で積分します。 \(\int dθ\)であれば、\(θ\)で積分します。 \(\int dωt\)であれば、\(ωt\)で積分します。
\(F(x)=\int f(x) dx\)	不定積分をするときに使います。
\(F(x)=\int_a^b f(x) dx\)	a～bの範囲の積分をする定積分をするときの記法です。
\(C\)	不定積分した結果に付く積分定数です。

　

定積分

定積分とは、積分する区間 a ～ b を定めて、その区間の面積を求める計算です。定積分を式で表すと、

\(F(x)=\int_a^b f(x) dx\)

となります。

定積分の計算

\(\int_a^b f(x) dx\) の式を計算すると、
\(\int_a^b f(x) dx=[F(x)]_a^b = F(b)-F(a)\)となります。

定積分の計算例
\( \int_2^8 x dx = \left[\frac{1}{2}x^2 \right]_2^8=\frac{1}{2}8^2-\frac{1}{2}2^2=30\)

　

不定積分

不定積分は、原始関数 \(F(x)\) を求めることが目的であるため、積分する区間を定めずに計算します。不定積分が、定積分と大きく違う点は、積分定数\(C\)が出てくる事です。

\(\int f(x) dx=F(x)+C\)

　

不定積分計算例
\(F(x)\) を微分して \(f(x)\) を求めると、\(F(x)\) の定数項の情報が不足してしまうということについて、実際に計算して確かめてみます。

その後、\(f(x)\)を積分すると、定数項が欠落して、\(2x\) となってしまいます。
そのため、欠落した定数項を補うために、積分定数\(C\)を足します。
元の定数項が１だったため、\(C=1\)となり、元の関数を復元することができます。

　

積分の公式一覧

電験三種の計算で使用する積分の公式を列挙します。（電験で使用しない公式は省略しています）

　

積分の計算に関する法則

積分 \(\int dx\)の中には、様々な四則演算が含まれます。
そこで、積に関する法則として、定数倍の法則。
和・差に関する法則として、和・差の法則を紹介します。

　

定数倍の法則

積分の中にある定数倍は、そのまま外に出せます。

\(k\)を定数としたとき、
\( \int k・f(x) dx = k \int f(x) dx\)

計算例
\( \int 2x^2 dx = 2 \int x^2 dx = 2 \frac{1}{3}x^3+C = \frac{2}{3}x^3+C\)

　

和・差の法則

和・差は項ごとに積分する。

二つの関数\(f(x)\)と\(g(x)\)の和を積分するとき、
\( \int f(x)+g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx\)

二つの関数\(f(x)\)と\(g(x)\)の差を積分するとき、
\( \int f(x)-g(x) dx = \int f(x) dx – \int g(x) dx\)

計算例
\( \int 3x^2+5x-7 dx = \int 3x^2dx +\int 5x dx – \int 7 dx = x^3+\frac{5}{2}x^2-7x+C\)

　

練習例題

(1) \( \int (x+5)dx\)　を積分せよ

(2) \( \int \frac{1}{x} dx\)　を積分せよ

(3) \( \int \frac{1}{x^2} dx\)　を積分せよ

(4) \(\int x^2+2x+2 dx\)　を積分せよ

(5) \( \int sinθ dθ\)　を積分せよ

(6) \( \int cos(2πft) dt\)　を積分せよ

(7) \( \int e^{-jωt} dt\)　を積分せよ

(8) \( \int_{-1}^2 (3x^2+x+5) dx\) を積分せよ

(9) \( \int_0^{π/4} cos θ dθ \) を積分せよ

(10) \( \int_0^{T/2} sinωt dt \)を求めよ。\(ω=2πf\)、\(fT=1\)とする。

(11) \( V_{avg}= \frac{1}{\frac{T}{2}} \int_0^{T/2} V_m sinωtdt[V] \) を求めよ。
　　　\(V_m\)は定数、\(ω=2πf\)、\(fT=1\)とする。

(12) \( \int_0^T 1 dt \) を求めよ

(13) \( \int_0^T -cos(2ωt) dt \) を求めよ。\(ω=2πf\)、\(fT=1\)とする。

(14) \( \int_0^T sin^2 ωt dt \) を求めよ。
　　　\(sin^2ωt=\frac{1-cos2ωt}{2}\)、\(ω=2πf\)、\(fT=1\)とする。

(15) \( \int_0^T v^2 dt\) を求めよ。　\(v=V_m sinωt \)とする。

(16) 電圧の実効値 \(V_{rms}= \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T v^2 dt} \) を求めよ。
　　　　\(v=V_m sinωt \)とする。

　

解答例

(1) \( \int (x+5)dx\)　を積分せよ。
　
\( \int (x+5)dx=\int xdx+\int 5dx=\frac{1}{2}x^2+5x+C\)

(2) \( \int \frac{1}{x} dx\)　を積分せよ。
　
\( \int \frac{1}{x} dx=ln|x|+C\)

(3) \( \int \frac{1}{x^2} dx\)　を積分せよ。
　
\( \int \frac{1}{x^2} dx=-x^{-1}+C\)

(4) \(\int x^2+2x+2 dx\)　を積分せよ。
　
\(\int x^2+2x+2 dx=\frac{1}{3}x^3+x^2+2x+C\)

(5) \( \int sinθ dθ\)　を積分せよ。
　
\( \int sinθ dθ= -cosθ +C\)

(6) \( \int cos(2πft) dt\)　を積分せよ。
　
\( \int cos(2πft) dt=\frac{1}{2πf}sin(2πft)+C\)

(7) \( \int e^{-jωt} dt\)　を積分せよ。
　
\( \int e^{-jωt} dt=\frac{1}{-jω}e^{-jωt}+C\)

(8) \( \int_{-1}^2 (3x^2+x+5) dx\) を積分せよ。
　
\(\begin{eqnarray} \int_{-1}^2 (3x^2+x+5) dx&=&[x^3+\frac{1}{2}x^2+5x]_{-1}^2\\
&=&(8+2+10)-(-1+\frac{1}{2}-5)\\
&=&20+\frac{11}{2}=\frac{51}{2}
\end{eqnarray}\)

(9) \( \int_0^{π/4} cos θ dθ \) を積分せよ。
　
\(\displaystyle \int_0^{π/4} cos θ dθ= [sin θ]_0^{π/4}=sin \frac{π}{4}-sin0=\frac{1}{\sqrt{2}}-0=\frac{1}{\sqrt{2}} \)

(10) \( \int_0^{T/2} sinωt dt\) を求めよ。\(ω=2πf\)、\(fT=1\)⇔\(f=\frac{1}{T}\)とする。
　
\(\begin{eqnarray}
\int_0^{T/2} sinωt dt&=&\frac{1}{ω}[-cosωt]_0^{T/2} \\
&=&-\frac{1}{2πf}(cos2πf\frac{T}{2}-cos0) \\
&=&-\frac{T}{2π}(cosπfT-cos0) \\
&=&-\frac{T}{2π}(cosπ-cos0) \\
&=&-\frac{T}{2π}\{ -1-1\} \\
&=&\frac{T}{π}
\end{eqnarray}\)

(11) \( V_{avg}= \frac{1}{\frac{T}{2}} \int_0^{T/2} V_m sinωtdt[V] \) を求めよ。
　　　\(V_m\)は波高値（定数）、\(ω=2πf\)、\(fT=1\)とする。
　
\(\begin{eqnarray}
V_{avg}&=& \frac{1}{\frac{T}{2}} \int_0^{T/2} V_m sinωtdt \\
&=& \frac{2}{T}・V_m \int_0^{T/2} sinωtdt \\
\end{eqnarray}\)
　
(10)の問題の解答から、
\(V_{avg}=\frac{2}{T}・V_m・\frac{T}{π} =\frac{2V_m}{π}\)

(12) \( \int_0^T 1 dt \) を求めよ。
　
\( \int_0^T 1 dt=[t]_0^T=T-0=T \)

(13) \( \int_0^T -cos(2ωt) dt \) を求めよ。\(ω=2πf\)、\(fT=1\)とする。
　
\( \int_0^T -cos(2ωt) dt=\frac{-1}{2ω}[sin4πft]_0^T=\frac{-1}{2ω}(sin4πfT-sin0)=0 \)

(14) \( \int_0^T sin^2 ωt dt \) を求めよ。
　　　\(sin^2ωt=\frac{1-cos2ωt}{2}\)、\(ω=2πf\)、\(fT=1\)とする。
　
\(\begin{eqnarray}
\int_0^T sin^2 ωt dt&=&\int_0^T \frac{1-cos2ωt}{2} dt \\
&=&\frac{1}{2}\int_0^T (1-cos2ωt) dt \\
&=&\frac{1}{2}(\int_0^T 1dt – \int_0^T cos2ωt) dt
\end{eqnarray}\)
　
(12)・(13)の問題の解答から、
\(\displaystyle \frac{1}{2}(\int_0^T 1dt – \int_0^T cos2ωt) dt=\frac{1}{2}(T-0)=\frac{1}{2}T\)

(15) \( \int_0^T v^2 dt\) を求めよ。　\(v=V_m sinωt \)とする。
　
\(\displaystyle \int_0^T v^2 dt=\int_0^T V^2_m sin^2ωt dt=V^2_m\int_0^T sin^2ωt dt\)
　
(14)の問題の解答から、
\(\displaystyle V^2_m\int_0^T sin^2ωt dt=\frac{V^2_m T}{2}\)

(16) 電圧の実効値 \(V_{rms}= \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T v^2 dt} \) を求めよ。 \(v=V_m sinωt \)とする。
　
(15)の問題の解答から、
\(\displaystyle V_{rms}= \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T v^2 dt}=\sqrt{\frac{1}{T} \frac{V^2_m T}{2}}=\sqrt{\frac{V^2_m}{2}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}} \)

　

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