ベクトルの基礎

ベクトルを学ぶ理由

直流の計算では、電圧も、電流も「大きさ」だけを持ちます。（例：\(V=100V\)、\(I=10A\)等）
「大きさ」だけで計算できる量を、スカラーと呼びます。

交流の電圧・電流は「大きさ」と「位相（タイミングのずれ）」を同時にもつため、単純な足し算では正しく計算できません。

ベクトルは、「大きさ」と「向き（偏角）」の二つを持ち、「向き（偏角）」で「位相」を表すことができます。その両方を同時に計算できるベクトルを学ぶことで、計算方法の基礎を学ぶことができます。

ベクトルを学んだ後は、ベクトルと密接な関係にある複素数を学ぶことで、交流の計算を簡単に出来るようになります。

　

　

ベクトルとは

ベクトルの表示形式

ベクトルの表現の仕方には、直行形式と、極形式の２種類の形式があります。
計算の内容（足算・内積等）によって、計算しやすい形式が異なるので、どちらも使用します。

直交形式：\(\dot{A}=(a,b)\)のように、\(x,y\)座標で表現する方式です。
極形式　：\(\dot{A}=|A|∠θ\)のように、大きさ\(|A|\)と、偏角\(∠θ\)で表現する方式です。

　

直交形式　→　極形式　への変換

直交形式で表されたベクトルを、極形式へ変換するためには、
　・ベクトルの大きさ
　・ベクトルの向き（偏角）
の２つを計算する必要があります。

　

ベクトルの大きさの計算

原点から矢印の先までの長さを、ベクトルの大きさ |A| といいます。
ベクトル\(\dot{A}\)の大きさは\(|A|\)で表します。

　

ベクトルの向き（偏角）の計算

x軸の向きを0°とし、 x軸から角度が何度ずれているかを∠θで表したものをベクトルの向きと呼びます。

例： \(\dot{A} =（1, \sqrt{3}）\)
\(tan60°=\sqrt{3}\)なので、
\(∠θ=tan^{-1} \frac{\sqrt{3}}{1}=tan^{-1} \sqrt{3}=60°\)　と求められます。

　

直交形式　→　極形式　への変換　まとめ

求めたベクトルの大きさ\(|A|\)  と、向き（偏角）\(∠θ\)を使って、
極形式のベクトルは、\(\dot{A}=|A|∠θ\)　でまとめて表すことができます。

複素数の計算にそのまま対応することができるので、交流回路の計算の基礎として使われています。

例： \(\dot{A}=(1,\sqrt{3})\)
・大きさ　\(|A|=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=2\)
・偏　角　\(∠θ=tan^{-1} \frac{\sqrt{3}}{1}=tan^{-1} \sqrt{3}=60°\)

したがって、\(\dot{A}=2∠60°\)

　

極形式　→　直交形式　への変換

極形式から直行形式への変換は、ベクトルの大きさ\(|A|\)と、偏角\(∠θ\)を、水平成分と垂直成分の２つの成分に分けることで求められます。
角度θがわかれば三角関数で求められます。

　

　

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