概要
コンデンサの電界の強さと蓄積エネルギーの計算問題です。
基礎的な内容なので、確実に点を取れるようにしましょう。
キーワード
コンデンサ、電界の強さ、蓄積エネルギー
問題
図のように、極板間の厚さ \(d[m]\) 、表面積 \(S[m^2]\) の平行板コンデンサAとBがある。
コンデンサAの内部は、比誘電率と厚さが異なる３種類の誘電体で構成され、極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。
コンデンサBの内部は、比誘電率と水平方向の断面積が異なる3種類の誘電体で構成されている。
コンデンサAの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ \(E_{A1}\)、\(E_{A2}\)、\(E_{A3}\)、コンデンサBの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ \(E_{B1}\)、\(E_{B2}\)、\(E_{B3}\) とし、端効果、初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。
また、真空の誘電率を \(ε_0[F/m]\) とする。
両コンデンサの上側の極板に電圧 \(V[V]\) の直流電源を接続し、下側の極板を接地した。
次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) コンデンサＡにおける各誘電体内部の電界の強さの大小関係とその中の最大値の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \(E_{A1}<E_{A2}<E_{A3}\) , \(\frac{3V}{5d}\)
(2) \(E_{A1}>E_{A2}>E_{A3}\) , \(\frac{3V}{5d}\)
(3) \(E_{A1}=E_{A2}=E_{A3}\) , \(\frac{V}{d}\)
(4) \(E_{A1}<E_{A2}<E_{A3}\) , \(\frac{9V}{5d}\)
(5) \(E_{A1}>E_{A2}>E_{A3}\) , \(\frac{9V}{5d}\)
(b) コンデンサＢ全体の蓄積エネルギーは、コンデンサＡ全体の蓄積エネルギーの何倍か、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) 0.72 (2) 0.83 (3) 1.00 (4) 1.20 (5) 1.38
答え
（ａ）（５）
（ｂ）（４）
解説テキスト リンク
回答解説
問題（ａ）
（ａ）問題の解答の流れ
(1)三つの誘電体の静電容量を求める。
(2)電圧\(V[V]\)を印加したときの電荷\(Q[C]\)を求める。
(3)各誘電体の電界の強さ \(E\) を求める
(1)三つの誘電体の静電容量を求める。
\(E_{A1}\)の誘電体の静電容量 \(\displaystyle C_1=2ε_0 \frac{S}{\frac{d}{6}}=12ε_0 \frac{S}{d}\)
\(E_{A2}\)の誘電体の静電容量 \(\displaystyle C_2=3ε_0 \frac{S}{\frac{d}{3}}=9ε_0 \frac{S}{d}\)
\(E_{A3}\)の誘電体の静電容量 \(\displaystyle C_3=6ε_0 \frac{S}{\frac{d}{2}}=12ε_0 \frac{S}{d}\)
(2)電圧\(V[V]\)を印加したときの電荷\(Q[C]\)を求める。
極板と各誘電体の水平方向に３つの誘電体が重ねられているコンデンサＡは、３つのコンデンサが直列接続されているのと同じです。
コンデンサＡに電圧 \(V[V]\) を印加すると、全てのコンデンサに電荷 \(Q[C]\) が蓄積されます。蓄積される電荷 \(Q[C]\) は、コンデンサAの全体の静電容量 \(C[F]\) を求めると、
\(Q=CV\) から求めることができます。
まずは、コンデンサA全体の静電容量\(C[F]\)を求めます。
\(\displaystyle \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}\)
⇔ \(\displaystyle C=\frac{18}{5}ε_0 \frac{S}{d}\)
次に電圧\(V[V]\)を印加したときの電荷\(Q[C]\)を求めます。
\(\displaystyle Q=CV=\frac{18}{5}ε_0 \frac{S}{d}V\)
(3)各誘電体の電界の強さ \(E\) を求める
各誘電体の電界の強さ\(E\)は、各誘電体にかかる電圧\(V\)を使い、\(V=Ed\)の式から、求めることができます。
まずは、各誘電体の電圧\(V_{A1}～V_{A3}\)を求めます。
\(\displaystyle V_{A1}=\frac{Q}{C_1}=\frac{\frac{18}{5}V}{12}=\frac{3}{10}V\)
\(\displaystyle V_{A2}=\frac{Q}{C_2}=\frac{\frac{18}{5}V}{9}=\frac{2}{5}V\)
\(\displaystyle V_{A3}=\frac{Q}{C_3}=\frac{\frac{18}{5}V}{12}=\frac{3}{10}V\)
次に、各誘電体の電界の強さ\(E_{A1}～E_{A3}\)を求める
\(\displaystyle E_{A1}=\frac{V_{A1}}{\frac{d}{6}}=\frac{9V}{5d}\)
\(\displaystyle E_{A2}=\frac{V_{A2}}{\frac{d}{3}}=\frac{6V}{5d}\)
\(\displaystyle E_{A3}=\frac{V_{A3}}{\frac{d}{2}}=\frac{3V}{5d}\)
以上より、\(E_{A1}>E_{A2}>E_{A3}\)であり、
そして、最大の電界の強さは、\(\displaystyle E_{A1}=\frac{9V}{5d}\)
以上より、問題（ａ）は（５）が答えです。
問題（ｂ）
（ｂ）問題の解答の流れ
(1)コンデンサAの蓄積エネルギー \(W_A[J]\) を求める。
(2)コンデンサBの蓄積エネルギー \(W_B[J]\) を求める。
(3)コンデンサA・Bの蓄積エネルギーの比 \(\frac{W_B}{W_A}\) を求める
(1)コンデンサAの蓄積エネルギー \(W_A[J]\) を求める。
（ａ）問題でコンデンサＡに蓄積される電荷を
\(\displaystyle Q=CV=\frac{18}{5}ε_0 \frac{S}{d}V\)
と、求めました。
次に、コンデンサAの蓄積エネルギー\(W_A[J]\)を求めます。
\(\displaystyle W_A=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}・\frac{18}{5}ε_0 \frac{S}{d}V・V=\frac{9}{5}ε_0 \frac{S}{d}V^2\) …①
(2)コンデンサBの蓄積エネルギー \(W_B[J]\) を求める。
コンデンサBの全静電容量\(C_B\)を求めます。
\(\displaystyle C_B=2ε_0 \frac{\frac{S}{6}}{d}+3ε_0 \frac{\frac{S}{3}}{d}+6ε_0 \frac{\frac{S}{2}}{d}=\frac{13}{3}ε_0 \frac{S}{d}\)
次に、コンデンサBの蓄積エネルギー\(W_B[J]\)を求めます。
\(\displaystyle W_B=\frac{1}{2}C_BV^2=\frac{13}{6}ε_0 \frac{S}{d}V^2\) …②
(3)コンデンサA・Bの蓄積エネルギーの比 \(\frac{W_B}{W_A}\) を求める
②÷①は、
\(\displaystyle \frac{W_B}{W_A}=\frac{\frac{13}{6}ε_0 \frac{S}{d}V^2}{\frac{9}{5}ε_0 \frac{S}{d}V^2}=1.2\)
以上より、問題（ｂ）は（４）が答えです。
出典元
一般財団法人電気技術者試験センター （https://www.shiken.or.jp/index.html）
令和７年度下期 第三種電気主任技術者試験 理論科目問17
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