概要
直流機の回転数\(N[rpm]\)、トルク\(T[N・m]\)は、磁極数、電機子導体数や、電機子巻線の接続方法といった内部構造によって大きく異なります。
本頁では、直流機のトルク\(T[N・m]\)について、重要要素を踏まえた電流とトルクの関係式の導出を行います。
トルク\(T[N・m]\)
トルクとは
トルクは、回転軸を中心にして、回転子を回転させる力のことです。
左図のように向かい合わせたN・Sの磁石を磁極と呼びます。この磁極から磁束を供給する仕組みを界磁と呼びます。
磁極の間に電機子巻線のコイルに電源を接続することで、電機子電流\(I[A]\)が流れます。
電機子電流が、界磁の磁束を横切ることで、フレミング左手の法則で示される方向に、ローレンツ力（電磁力）が発生します。
このローレンツ力によって、回転軸を中心に、電機子巻線のコイルが回転します。
このコイルを回転させる力がトルクとなります。
重要公式
界磁Φ[Wb]で、回転数N[rpm]で回転している直流発電機の出力電圧E[V]の関係式
\(\displaystyle \boldsymbol{T=\frac{pZ}{2πa}・\Phi・I}\)
上記関係式の機械的な要素を比例定数\(K_T\)にまとめた場合、
\(\boldsymbol{T=K_T・\Phi・I}\)
※直流機の運転に関する問題で確実に使用する最も重要な式です。
\(\displaystyle \boldsymbol{T=\frac{pZ}{2πa}・\Phi・I}\)の式からわかること
・磁極数\(p\)が増加すると、トルク\(T\)が増加する。
・１回路の導体数\(\frac{Z}{a}\)が大きい波巻だと、小電流でトルクが大きくなる。
トルクの式の簡単な導出
トルク、機械出力と、回転子の角速度の重要な関係式である\(P=Tω\)に、⇦のページで導出した起電力式を使うと、トルクを簡単に導出できます。
トルクT[N・m]、機械出力P[W]と、角速度ω[rad/s]の関係式を変形します。
\(P=Tω\)
⇔ \(\displaystyle T=\frac{P}{ω}\) …①
回転子の角速度\(ω[rad/s]\)を回転数\(N[rpm]\)で表すと、
\(\displaystyle ω=2π・\frac{N}{60}\) …②
機械出力\(P[W]\)と、消費電力\(W[W]\)は等しいです。
そのため、電機子電圧\(E[V]\)、電機子電流\(I[A]\)とすると、
\(P=W=E・I\) …③
⇧のリンクのページで導出した電機子電圧\(E\)と、回転数\(N[rpm]\)の式から、
\(\displaystyle E=\frac{pZ}{60a}・\Phi・N\) …④
③式に④式を代入すると、
\(\displaystyle P=E・I=\frac{pZ}{60a}・\Phi・N・Ｉ\) …⑤
①式に②・⑤式を代入すると、
\(\displaystyle T=\frac{P}{ω}=\frac{\frac{pZ}{60a}・\Phi・N・Ｉ}{2π・\frac{N}{60}}=\frac{pZ}{2πa}・\Phi・I\)
➡ \(\displaystyle T=\frac{pZ}{2πa}・\Phi・I\) …⑥
ここで、トルクに関する比例定数を\(K_T\)とし、
\(\displaystyle K_T=\frac{pZ}{2πa}\)
とすると、⑥式は次のように簡単化できます。
\(T=K_T・\Phi・I\) …⑦
トルクの式をローレンツ力から導出
重要公式で示した式について、直流電動機として、式を組み立てて導出します。
導出の工程は長いため、（１）～（５）の５工程に分けて示します。
（１）ローレンツ力の式
ローレンツ力\(F[N]\)の大きさは、
・界磁磁束の磁束密度\(B[Wb/m^2]\)
・電機子電流\(I[A]\)
・電機子導体の長さ\(L[m]\)
としたとき、
\(F=BIL[N]\) …①
です。
（２）電機子導体に流れる電流の導出
整流子・ブラシから見た電機子巻線を、回路図として展開した電機子巻線回路です。
ローレンツ力が働く電機子導体が、直列につながれた回路を、さらに並列に並べて電機子巻線が構成されています。
・並列回路数：\(a\)[個]
・電機子電流：\(I[A]\)
とすると、
並列１回路に流れる電流は、
\(I_a=\frac{I}{a}[A]\) …②
（３）界磁の磁束密度の導出
・磁束密度の導出
電機子巻線のコイル内を貫く界磁磁束の磁束密度\(B[Wb/m^2]\)は、１極当たりの磁束\(\Phi[Wb]\)を１極分の面積\(S_{pole}[m^2]\)で割った値です。
\(\displaystyle B=\frac{\Phi}{S_{pole}}[Wb/m^2]\) …③
回転子の半径を\(R[m]\)、回転子の長さを\(L[m]\)としたとき、回転子の円筒の表面積\(S[m^2]\)は、
\(\displaystyle S=2πRL[m^2]\) …④
電動機の極数は\(p\)[極]なので、１極当たりの表面積\(S_{pole}[m^2]\)は、
\(\displaystyle S_{pole}=\frac{S}{p}=\frac{2πRL}{p}[m^2]\) …⑤
③式に④式を代入すると、
\(\displaystyle B=\frac{p \Phi}{2πRL}[Wb/m^2]\) …⑥
（４）ローレンツ力のまとめ
電機子導体１本辺りのローレンツ力を求めます。
ローレンツ力の式である①式の電流を、並列１回路に流れる電流\(I_a\)を使い、
\(\displaystyle F=BI_aL\)
と、書き直します。その後、②・⑥式を代入すると、
\(\displaystyle F=BI_aL=\frac{p}{2πaR}・\Phi・I\) …⑦
となります。
これで、電機子導体１本にかかるローレンツ力が。
次に、全電機子導体が作り出す回転方向の力（トルク）を考えていきます。
（５）トルクの導出
・電機子導体1本が生み出す平均トルク
電機子導体1本が生み出す平均トルク\(T_1[N・m]\)は、
\(T_1=FR\)
となります。⑦式から、
\(\displaystyle T_1=\frac{p}{2πa}・\Phi・I\) …⑨
なお、ここで電機子導体1本が生み出す平均トルクと呼んでいる理由は、電機子導体の位置によって発生するトルクが左図のように脈動するからです。
しかし、電機子導体は大量に巻かれていて、複数本の電機子導体が作り出す合成トルクは、ほぼ一定な安定したトルクとなるため、平均トルクとして慣らしてしまっても問題ありません。
・電機子全体の発生トルク
電機子の総導体数\(Z\)[本]があるので、電機子全体の発生トルク\(T[N・m]\)は、
\(\displaystyle T=ZT_1=\frac{pZ}{2πa}・\Phi・I\) …⑩
ここで、\(\frac{pZ}{2πa}\)は、直流機の製作後は一切変化しない機械的な要素なので常に一定値です。
したがって、比例定数\(K_T\)にまとめると、⑩式は⑪式のように簡潔に表記することができます。
\(\displaystyle T=K_T・\Phi・I\) …⑪
この式より、直流機のトルクは、運転中は磁束と電流に比例することがわかります。
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