概要
令和５年度下期 問４からの類題です。
誘導電動機のY-Δ始動方式における、始動トルクの計算問題です。
過去問を勉強していれば苦労しない問題です。
キーワード
誘導電動機、始動方式、Y-Δ始動、始動トルク
問題
あるかご形三相誘導電動機を定格電圧でY-Δ始動したところ、始動トルクは49.0 N･m であった。また、Δ結線での全電圧始動時（定格電圧）の始動トルクは定格運転時の210 ％である。
この電動機の定格運転時のトルクの値［N･m］として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) 16.3 (2) 23.3 (3) 28.3 (4) 40.4 (5) 70.0
答え
(５)
解説テキスト リンク
回答の解説
導出の流れ
（１）Y結線とΔ結線のトルクの比から、Δ結線の全電圧始動時の始動トルクを求める
（２）Δ結線の始動トルクと定格運転時のトルクの比から定格運転時のトルクを求める
（１）Y結線とΔ結線のトルクの比から、Δ結線の全電圧始動時の始動トルクを求める
Y結線のトルクは、Δ結線のトルクの\(\frac{1}{3}\)倍です。
Y結線の始動トルクが\(T_{Y0}=49Nm\)のとき、
Δ結線の全電圧始動時の始動トルクは\(T_{Δ0}=3T_{Y0}=147Nm\)です。
（２）Δ結線の始動トルクと定格運転時のトルクの比から定格運転時のトルクを求める
Δ結線での全電圧始動時の始動トルク\(T_{Δ0}\)は、定格運転トルク\(T_{ΔN}\)の210 ％なので、
\(T_{Δ0}=2.1T_{ΔN}\)
⇔ \(T_{ΔN}=\frac{1}{2.1}T_{Δ0}=\frac{147}{2.1}=70Nm\)
以上より、（５）が答えです。
参考
\(T_{Δ0}=3T_{Y0}\) の式の導出
誘導電動機の二次入力\(P_2\)は次式です。すべり\(s\)は、始動直後なので\(s=1\)です。
\(P_2=3I^2\frac{r_m}{s}=3I^2r_m\)
同期角速度\(ω_s\)としたとき、トルクは次の様に表せます。
\(\displaystyle T=\frac{P_2}{ω_s}=\frac{3I^2r_m}{ω_s}=kI^2\) …①
※計算に影響を与えない定数を、まとめて\(k\)としてまとめています。（\(k=\frac{3r_m}{ω_s}\)）
①式から、トルクは負荷電流の二乗に比例することがわかります。
Δ結線のときの負荷電流\(I_{ΔP}[A]\)を求めます。
線間電圧\(V[V]\)の電源に接続したとき、Δ結線の時の一次電圧（相電圧）は\(V[V]\)です。
誘導電動機の回路のインピーダンス\(Z[Ω]\)のときの負荷電流\(I_{ΔP}[A]\)は、
\(\displaystyle I_{ΔP}=\frac{V}{Z}[A]\) …②
Y結線のときの負荷電流\(I_{YP}[A]\)を求めます。
線間電圧\(V[V]\)の電源に接続したとき、Y結線の時の一次電圧（相電圧）は、\(\frac{V}{\sqrt{3}}[V]\)です。
誘導電動機の回路のインピーダンス\(Z[Ω]\)のときの負荷電流\(I_{YP}[A]\)は、
\(\displaystyle I_{YP}=\frac{\frac{V}{\sqrt{3}}}{Z}=\frac{V}{\sqrt{3}Z}[A]\) …③
Δ結線のトルクを求めるために、①式に②式を代入すると、
\(\displaystyle T_{Δ0}=kI^2_{ΔP}=k \left( \frac{V}{Z} \right)^2 \) …④
Y結線のトルクを求めるために、①式に③式を代入すると、
\(\displaystyle T_{Y0}=kI^2_{YP}=k \left( \frac{V}{\sqrt{3}Z} \right)^2 =\frac{1}{3}k \left( \frac{V}{Z} \right)^2\) …⑤
④・⑤式から、
\(\displaystyle T_{Y0}=\frac{1}{3}T_{Δ0} \)
⇔\(\displaystyle T_{Δ0}=3T_{Y0} \)
出典元
一般財団法人電気技術者試験センター （https://www.shiken.or.jp/index.html）
令和７年度下期 第三種電気主任技術者試験 機械科目問４
コメント