【電験三種：理論】令和７年度上期　問４

1. 直線状導体Aが点Pに作る磁界の強さ\(H_1\)を求める
直線状導体Aに直流電流 \(I_1[A]\)が流れているとき、この導体から\(a[m]\)離れた点P の磁界の大きさ\(H_1 [A/m]\)は、アンペールの法則から、

\( \displaystyle I_1=\oint_C H_1dl=H_1l=H_1× 2π a \)
となります。変形すると、
\(\displaystyle H_1=\frac{I}{2πa}[A/m]\)
となります。

2. 一巻円形コイルBが中心点Oに作る磁界の強さ\(H_2\)を求める
半径\(a[m]\)の一巻きの円形コイルB に直流電流\(I_2 [A]\)が流れているとき、この円の中心点O での磁界の大きさ\(H_2 [A/m]\)は、ビオサバールの法則から、

中心軸上の任意の点を点Pとしたとき、微小区間\(dl\)の電流が流れた時の点Pの磁界の強さ\(H\)は、
\(\displaystyle dH=\frac{Idl}{4π r^2}・sinθ\)

\(θ=90°\)から\(sinθ=1\)なので、
\(\displaystyle dH=\frac{Idl}{4π r^2}\)　…①

円形電線を横から見たとき、\(dl\)が作る磁界\(dH\)は、\(dH_x\)、\(dH_y\)と分解できます。
円形電線は、点Pの周りを１周するため、\(dH_x\)のベクトル和は\(0\)になります。
したがって、\(dH_y\)のみが残りますので、
\(dH_y=dH sinφ\)　　　………②

②式に①式を代入すると、
\( dH_y=\frac{Idl}{4π r^2}・sinφ\)　…③

となります。③式を積分すると、
\(\begin{eqnarray} H_y&=&\int_0^{2π a}\frac{I}{4π r^2}・sinφ dl \\
&=&\frac{I}{4π r^2}・sinφ\int_0^{2π a} dl \\
&=&\frac{I}{4π r^2}・sinφ・2π a　…④
\end{eqnarray}\)

となります。ここで、
\(\displaystyle sinφ=\frac{a}{r}\)　…⑤

なので、⑤式を④式に代入すると、
\(H_y=\frac{Ia^2}{2 r^3}\)　…⑥

となります。ここで、
\(r=\sqrt{a^2+y^2}\)　…⑦

なので、⑦式を⑥式に代入すると、
\(\displaystyle H_y=\frac{Ia^2}{2 (a^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\)　…⑧

\(y=0\)のとき、点Oの磁界の強さ\(H_2\)になるので、
\(\displaystyle H_2=\frac{Ia^2}{2 (a^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{I}{2a}\)　…⑨

以上より、点Oにつくる磁界の強さ\(H_2\)は、
\(H_2=\frac{I}{2a}\)

と、求まりました。

3. \(H_1=H_2\)から電流\(I_1\)を求める
問題文の条件、\(H_1=H_2\)なので、
\(\frac{I_1}{2πa}=\frac{I_2}{2a}\)
⇔　\(I_1=πI_2\)

以上より、（５）\(I_1=πI_2\)が答えです。

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