複素数の計算

複素数平面で表すと、図のようになります。
\(Z_1\)のベクトルの矢印の先から、\(Z_2\)のベクトルを伸ばすと、\(Z_1+Z_2\)となります。

その結果、ベクトル\(Z_1\)と\(Z_2\)を２辺とする平行四辺形になります。

複素数平面で表すと、図のようになります。
原点Oから、\(Z_2\)のベクトルを大きさはそのままで、向きを逆方向に伸ばしたものが、\(-Z_2\)です。

ベクトル\(Z_1\)と、\(-Z_2\)を加算すると、
\(Z_1-Z_2\)　のベクトルになります。

括弧で囲われた文字式の展開と同様に計算します。
（\(j^2=-1\)です）

\((a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(ad+bc)\)

例
\(\begin{eqnarray}
(2+j3)(1+j4) & = & 2・1+2・j4+j3・1+j3・j4 \\
&=&2+j8+j3+j^2 12 \\
&=&2+j8+j3-12 \\
&=&-10+j11
\end{eqnarray}\)

複素数の掛け算\(Z_1・Z_2\) を、極形式で計算するときは、
「大きさ」と「角度」をそれぞれ計算した後にまとめる手順で計算します。

大きさ：\(Z_1\)と\(Z_2\) を掛算します。 \(|Z_1|・|Z_2|\)
角　度： ∠θ_1 と∠θ_2を足算します。 \(∠(θ_1+∠θ_2)\)

除算は、分母から複素数を消す計算（有理化）をします。

\(\displaystyle \begin{eqnarray}
\frac{a+jb}{c+jd}&=&\frac{a+jb}{c+jd}・\frac{c-jd}{c-jd} \\ \\
&=&\frac{(ac+bd)+j(bc-ad)}{c^2+d^2}
\end{eqnarray}\)

例
\(\begin{eqnarray}
\frac{2+j3}{1+j4}&=&\frac{2+j3}{1+j4}・\frac{1-j4}{1-j4} \\ \\
&=&\frac{2・1-2・j4+j3・1+3・4}{1^2+4^2} \\ \\
&=&\frac{14-j5}{17}
\end{eqnarray}\)

複素数の割り算\(\frac{Z_1}{Z_2}\) を、極形式で計算するときは、「大きさ」と「角度」をそれぞれ計算した後にまとめる手順で計算します。

大きさ：\(Z_1\)と\(Z_2\) を割算します。 \(\frac{|Z_1|}{|Z_2|}\) 
角　度： \(∠θ_1\) から\(∠θ_2\) を引算します。  \(∠(θ_1-∠θ_2)\)

虚部の符号を反対にした複素数を共役複素数といいます。
実軸に関して対称な点になります。

共役複素数の表し方は、複素数を \(Z\) としたとき、
共役複素数は \(\bar{Z}\) です。

\(Z=a+jb\)
\(\bar{Z}=a-jb\)
※実部はそのまま、虚部の符号だけを変えます

例：\(Z=3+j4　→　 \bar{Z}=3-j4\)