概要
誘導電動機のY-Δ始動方式における、始動トルクの計算問題です。
計算は難しくないので、理解をしていれば簡単ですが、盲点を突くような問題なので回答は難しかったかもしれません。
キーワード
誘導電動機、始動方式、Y-Δ始動、始動トルク
問題
あるかご形三相誘導電動機を定格電圧でY-Δ始動したところ、始動トルクは \(60 N･m\) であった。
また、Δ結線での全電圧始動時（定格電圧）の始動トルクは定格運転時の \(240 ％\) である。
この電動機の定格運転時のトルクの値 \([N･m]\) として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) 20 (2) 25 (3) 35 (4) 43 (5) 75
答え
（５）
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回答解説
問題文から、Y結線の始動トルクが \(T_{Y0}=60N・m\) です。
Δ結線の始動トルクは\(T_{Δ0}=3T_{Y0}\) なので、\(T_{Δ0}=180N・m\) です。
問題文のΔ結線での全電圧始動時（定格電圧）の始動トルク\(T_{Δ0}\)は定格運転時の\(T_{Δn}\)の \(240 ％\) であるという記述から、
\(T_{Δ0}=2.4T_{Δn}\)
⇔ \(T_{Δn}=\frac{1}{2.4}T_{Δ0}=\frac{180}{2.4}=75N･m\)
以上より、（５）75 が答えです。
\(T_{Δ0}=3T_{Y0}\) の式の導出
誘導電動機の二次入力\(P_2\)は次式です。すべり\(s\)は、始動直後なので\(s=1\)です。
\(P_2=3I^2\frac{r_m}{s}=3I^2r_m\)
同期角速度\(ω_s\)としたとき、トルクは次の様に表せます。
\(\displaystyle T=\frac{P_2}{ω_s}=\frac{3I^2r_m}{ω_s}=kI^2\) …①
※計算に影響を与えない定数を、まとめて\(k\)としてまとめています。（\(k=\frac{3r_m}{ω_s}\)）
①式から、トルクは負荷電流の二乗に比例することがわかります。
Δ結線のときの負荷電流\(I_{ΔP}[A]\)を求めます。
線間電圧\(V[V]\)の電源に接続したとき、Δ結線の時の一次電圧（相電圧）は\(V[V]\)です。
誘導電動機の回路のインピーダンス\(Z[Ω]\)のときの負荷電流\(I_{ΔP}[A]\)は、
\(\displaystyle I_{ΔP}=\frac{V}{Z}[A]\) …②
Y結線のときの負荷電流\(I_{YP}[A]\)を求めます。
線間電圧\(V[V]\)の電源に接続したとき、Y結線の時の一次電圧（相電圧）は、\(\frac{V}{\sqrt{3}}[V]\)です。
誘導電動機の回路のインピーダンス\(Z[Ω]\)のときの負荷電流\(I_{YP}[A]\)は、
\(\displaystyle I_{YP}=\frac{\frac{V}{\sqrt{3}}}{Z}=\frac{V}{\sqrt{3}Z}[A]\) …③
Δ結線のトルクを求めるために、①式に②式を代入すると、
\(\displaystyle T_{Δ0}=kI^2_{ΔP}=k \left( \frac{V}{Z} \right)^2 \) …④
Y結線のトルクを求めるために、①式に③式を代入すると、
\(\displaystyle T_{Y0}=kI^2_{YP}=k \left( \frac{V}{\sqrt{3}Z} \right)^2 =\frac{1}{3}k \left( \frac{V}{Z} \right)^2\) …⑤
④・⑤式から、
\(\displaystyle T_{Y0}=\frac{1}{3}T_{Δ0} \)
⇔\(\displaystyle T_{Δ0}=3T_{Y0} \)
出典元
一般財団法人電気技術者試験センター （https://www.shiken.or.jp/index.html）
令和５年度下期 第三種電気主任技術者試験 機械科目問題問４
参考書
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