【電験三種：理論】令和６年度下期　問１７

（ａ）問題の解答の流れ
①両方の電極の静電容量$C_1$、$C_2$を求める
②両方の電極の電荷量$Q_1$、$Q_2$を求める
③合計電荷$Q$を求める

①両方の電極の静電容量$C_1$、$C_2$を求める
問題文から、
・$ε=8.85×10^{-12}F/m$
・$A_1=10^{-3}m^2$
・$A_2=10^{-2}m^2$
・$d=10^{-3}m$
です。

左側電極の静電容量を$C_1$として、各パラメータを代入していくと、
$\displaystyle C_1=ε\frac{A_1}{d}=8.85×10^{-12}\frac{10^{-3}}{10^{-3}}=8.85×10^{-12}[F]$

右側電極の静電容量を$C_2$として、各パラメータを代入していくと、
$\displaystyle C_2=ε\frac{A_2}{d}=8.85×10^{-12}\frac{10^{-2}}{10^{-3}}=8.85×10^{-11}[F]$

②両方の電極の電荷量$Q_1$、$Q_2$を求める
電圧は$V_0=1000V$なので、
左側電極の電荷量$Q_1$は、
$\displaystyle Q_1=C_1V_0=8.85×10^{-12}×10^3=8.85×10^{-9}$

右側電極の電荷量$Q_2$は、
$\displaystyle Q_2=C_2V_0=8.85×10^{-11}×10^3=88.5×10^{-9}$

③合計電荷$Q$を求める
二つの電極は並列接続されているので、合計電荷$Q[C]$は次のようにもとめられます。
$Q=Q_1+Q_2=8.85×10^{-9}+88.5×10^{-9}=9.7×10^{-8}$

以上より、（ａ）問題は（３）$9.7×10^{-8}$　が答えです。

（ｂ）問題の解答の流れ
①右側極板の距離を$x=3×10^{-3}[m]$にしたときの静電容量$C’_2$を求める
②直列・並列の合成容量を求めていく

①右側極板の距離を$x=3×10^{-3}[m]$にしたときの静電容量$C’_2$を求める
右側極板の距離を$x=3×10^{-3}[m]$にしたときの静電容量$C’_2$は、
$\displaystyle C’_2=ε\frac{A_2}{x}=8.85×10^{-12}\frac{10^{-2}}{3×10^{-3}}=29.5×10^{-12}$

②電圧が$V’$に変化したときの各極板の電荷の式を求める
右側極板の距離を$x=3×10^{-3}[m]$にしたときの極板に印加される電圧は$V’$に変化します。
左側極板の電荷量$Q’_1$は、$Q’_1=C_1V’$
右側極板の電荷量$Q’_2$は、$Q’_2=C’_2V’$

③合計電荷$Q[C]$が変化しないことから電圧$V’$を求める
合計電荷$Q[C]$は、スイッチSを開いていることから増えも減りもしません。
そのため、（ａ）問題のときから変わらず$Q=9.7×10^{-8}[C]$です。
$Q=Q’_1+Q’_2=C_1V’+C’_2V’=9.7×10^{-8}$

⇔　$\displaystyle V’=\frac{9.7×10^{-8}}{C_1+C’_2}=\frac{9.7×10^{-8}}{38.35×10^{-12}}=2.5×10^3$

以上より、（ｂ）問題は（２）$2.5×10^3$　が答えです。

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