【電験三種：理論】令和６年度下期　問１５

（ａ）問題の解答の流れ
①Y-Δ変換をする
②相電流を求める
③線電流を求める

①Y-Δ変換をする
図１の三相平衡負荷を$Z_Y$とすると、
$Z_Y=R+jωL=R+j2πfL=3+j2π×50×12.75×10^{-3}=3+j4$

Y-Δ変換すると、抵抗とインダクタンスからなる三相平衡負荷$Z_Δ$は、
$Z_Δ=3Z_Y=9+j12$
$|Z_Δ|=\sqrt{9^2+12^2}=15Ω$

②相電流を求める
Δ結線の各相の相電流を$I_p$とすると、
$\displaystyle I_p=\frac{V}{|Z|}=\frac{200}{15}=13.3A$

③線電流を求める
線電流$I$は相電流$I_p$の$\sqrt{3}$倍の大きさなので、
$\displaystyle I=\sqrt{3}I_p=23.1A$

以上より、（ａ）問題は（２）23.1　が答えです。

（ｂ）問題の解答の流れ
①負荷条件を整理する
②三相平衡負荷$Z_Δ$とコンデンサC[F]の合成インピーダンスを求める
③力率１の条件からコンデンサの静電容量を求める

①負荷条件を整理する

静電容量$C[F]$のコンデンサを結線すると、$Z_Δ$と、静電容量$C[F]$の並列接続になります。
三相平衡負荷の$Z_Δ$は、(a)問題から$Z_Δ=9+j12$ です。

静電容量$C[F]$のリアクタンス$X_C[Ω]$は、
$\displaystyle X_C=\frac{1}{j2πfC}$

②三相平衡負荷$Z_Δ$とコンデンサC[F]の合成インピーダンスを求める
（ａ）問題でY-Δ変換して求めた三相平衡負荷$Z_Δ$と、静電容量C[F]のコンデンサは、各相毎に並列接続されたインピーダンスとして扱えますので、その合成インピーダンス$Z[Ω]$は、

$\displaystyle \frac{1}{Z}=\frac{1}{Z_Δ}+\frac{1}{X_C}$

⇔　$\displaystyle \frac{1}{Z}=\frac{1}{9+j12}+j2πfC$

⇔　$\displaystyle \frac{1}{Z}=\frac{9-j12}{225}+j314C$

⇔　$\displaystyle \frac{1}{Z}=\frac{9}{225}-j\frac{12}{225}+j314C$

③力率１の条件からコンデンサの静電容量を求める
ここで、力率１という条件から、虚数項は０となるので、
$\displaystyle -j\frac{12}{225}+j314C=0$

⇔　$\displaystyle C=\frac{12}{225×314}=1.7×10^{-4}$

以上より、（ｂ）問題は（２）$1.7×10^{-4}$　が答えです。

Δ-Y変換の関係式導出

手順
①Δ結線の端子A-B間の合成抵抗$Z_{AB}$を求める　…（１）式
②Y結線の端子A-B間の合成抵抗$Z_{AB}$を求める　…（２）式
③(1)式=(2)式　から、$Z_Δ=3Z_Y$を導出する

①Δ結線の端子A-B間の合成抵抗$Z_{AB}$を求める　…（１）式

左図から、Δ結線の端子A-B間からみた合成インピーダンス$Z_{AB}$は、
$\displaystyle \frac{1}{Z_{AB}}=\frac{1}{Z_Δ}+\frac{1}{2Z_Δ}$

整理すると、
$\displaystyle Z_{AB}=\frac{2}{3}Z_Δ$　…(1)式

②Y結線の端子A-B間の合成抵抗$Z_{AB}$を求める　…（２）式

左図から、Y結線の端子A-B間からみた合成インピーダンス$Z_{AB}$は、
$Z_{AB}=2Z_Y$　…(2)式

③(1)式=(2)式　から、$Z_Δ=3Z_Y$を導出する
(1)式=(2)式
$\displaystyle \frac{2}{3}Z_Δ=2Z_Y$

⇔$\displaystyle Z_Δ=3Z_Y$

以上より、$Z_Δ$と$Z_Y$の関係を求めることが出来ました。

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