概要
令和３年問１７と同じ問題です。
直列接続のコンデンサと、並列接続のコンデンサの問題です。
直列接続時のコンデンサの電荷や、静電容量の取り扱いについて理解している必要があります。
普通程度の難易度ですが、平行平板のコンデンサの計算についての基礎知識が全般的に求められます。
キーワード
平行平板コンデンサ、直列接続、並列接続、電界の強さ、蓄積されたエネルギー
問題
図のように、極板間の厚さ\(d[m]\)、表面積\(S[m^2]\)の平行板コンデンサAとBがある。
コンデンサAの内部は、比誘電率と厚さが異なる３種類の誘電体で構成され、極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。
コンデンサBの内部は、比誘電率と水平方向の断面積が異なる３種類の誘電体で構成されている。
コンデンサAの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ\(E_{A1}\)、\(E_{A2}\)、\(E_{A3}\)、コンデンサBの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ\(E_{B1}\)、\(E_{B2}\)、\(E_{B3}\)とし、端効果、初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。
また、真空の誘電率を\(ε_0[F/m]\)とする。
両コンデンサの上側の極板に電圧\(V[V]\)の直流電源を接続し、下側の極板を接地した。
次の(a)及び(b)の問に答えよ。
（ａ）コンデンサＡにおける各誘電体内部の電界の強さの大小関係とその中の最大値の組合せとして、正しいものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。
（１）\(E_{A1}>E_{A2}>E_{A3},\frac{3V}{5d}\)
（２）\(E_{A1}<E_{A2}<E_{A3},\frac{3V}{5d}\)
（３）\(E_{A1}=E_{A2}=E_{A3},\frac{V}{d}\)
（４）\(E_{A1}>E_{A2}>E_{A3},\frac{9V}{5d}\)
（５）\(E_{A1}<E_{A2}<E_{A3},\frac{9V}{5d}\)
（ｂ）コンデンサＡ全体の蓄積エネルギーは、コンデンサＢ全体の蓄積エネルギーの何倍か、正しいものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。
（１）0.72 （２）0.83 （３）1.00 （４）1.20 （５）1.38
答え
（ａ）（４）
（ｂ）（２）
解説テキスト リンク
回答解説
（ａ）の解答の流れ
①各誘電体内部の電界の強さを求めて比較する
②コンデンサAの全体の静電容量\(C_A\)を求める
③\(Q=CV\)から、各コンデンサに帯電する電荷量\(Q\)を求める
④\(E_{A1}\)の式に電荷量を代入する
①各誘電体内部の電界の強さを求めて比較する
電界の強さの式は\(E=\frac{Q}{εS}\)です。
直列接続されたコンデンサの表面電荷は、等しいので、
\(E_{A1}=\frac{Q}{2ε_0S}\)
\(E_{A2}=\frac{Q}{3ε_0S}\)
\(E_{A3}=\frac{Q}{6ε_0S}\)
以上より、\(E_{A1}>E_{A2}>E_{A3}\)であることが分かります。
②コンデンサAの全体の静電容量\(C_A\)を求める
静電容量の式は、\(C=ε\frac{Q}{d}\)なので、各誘電体の静電容量を求めていきます。
\(\displaystyle C_{A1}=2ε_0\frac{S}{\frac{d}{6}}=12ε_0\frac{S}{d}\)
\(\displaystyle C_{A2}=3ε_0\frac{S}{\frac{d}{3}}=9ε_0\frac{S}{d}\)
\(\displaystyle C_{A3}=6ε_0\frac{S}{\frac{d}{2}}=12ε_0\frac{S}{d}\)
コンデンサAの全体の静電容量\(C_A\)は、３つのコンデンサの直列接続として考えられるので、
\(\displaystyle \frac{1}{C_A}=\frac{1}{C_{A1}}+\frac{1}{C_{A2}}+\frac{1}{C_{A3}}\)
⇔\(\displaystyle \frac{1}{C_A}=\frac{5d}{18ε_0S}\)
⇔\(\displaystyle C_A=\frac{18ε_0S}{5d}\)
③\(Q=CV\)から、各コンデンサに帯電する電荷量\(Q\)を求める
\(\displaystyle Q=C_AV=\frac{18ε_0S}{5d}V\)
④\(E_{A1}\)の式に電荷量を代入する
\(E_{A1}=\frac{Q}{2ε_0S}=\frac{18ε_0S}{5d}\frac{V}{2ε_0S}=\frac{9V}{5d}\)
以上より、（ａ）問題の答えは（４）\(E_{A1}>E_{A2}>E_{A3},\frac{9V}{5d}\) が答えです。
（ｂ）の解答の流れ
①コンデンサＡの全体の蓄積エネルギー\(W_A[J]\)を求める
②コンデンサＢの全体の静電容量\(C_B[F]\)を求める
③コンデンサＢの全体の蓄積エネルギー\(W_B[J]\)を求める
④\(\frac{W_A}{W_B}\)を求める
①コンデンサＡの全体の蓄積エネルギー\(W_A[J]\)を求める
コンデンサAの全体の静電容量\(C_A\)は、(a)問題で求めた通りです。
\(\displaystyle C_A=\frac{18ε_0S}{5d}\)
蓄積エネルギーの式は、\(W=\frac{1}{2}CV^2\)なので、
\(\displaystyle W_A=\frac{1}{2}\frac{18ε_0S}{5d}V^2=\frac{9ε_0S}{5d}V^2\)
②コンデンサＢの全体の静電容量\(C_B[F]\)を求める
コンデンサBの各誘電体の静電容量を求めていきます。
\(\displaystyle C_{B1}=2ε_0\frac{\frac{S}{6}}{d}=ε_0\frac{S}{3d}\)
\(\displaystyle C_{B2}=3ε_0\frac{\frac{S}{3}}{d}=ε_0\frac{S}{d}\)
\(\displaystyle C_{B3}=6ε_0\frac{\frac{S}{2}}{d}=3ε_0\frac{S}{d}\)
コンデンサBの全体の静電容量\(C_B\)は、３つのコンデンサの並列接続として考えられるので、
\(\displaystyle C_B=C_{B1}+C_{B2}+C_{B3}=\frac{13ε_0S}{3d}\)
③コンデンサＢの全体の蓄積エネルギー\(W_B[J]\)を求める
コンデンサBの蓄積エネルギーは、
\(\displaystyle W_B=\frac{1}{2}C_BV^2=\frac{1}{2}\frac{13ε_0S}{3d}V^2=\frac{13ε_0S}{6d}V^2\)
④\(\frac{W_A}{W_B}\)を求める
\(\displaystyle \frac{W_A}{W_B}=\frac{\frac{9ε_0S}{5d}V^2}{\frac{13ε_0S}{6d}V^2}=\frac{54}{65}=0.83\)
以上より、（ｂ）問題の答えは（２）0.83 が答えです。
出典元
一般財団法人電気技術者試験センター （https://www.shiken.or.jp/index.html）
令和５年度上期 第三種電気主任技術者試験 理論科目Ａ問題問１６
参考書
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