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【電験三種:理論】令和5年度下期 問2

電験三種令和5年度理論問2 令和5年度下期

難易度

クーロン力に関する難問です。

基本的な事を知っていれば二択までは持っていけます。
最後の二択は少々手間な式変形をする必要があります。
問題文中に式変形のヒントは与えられていますが、それを上手く使わないと回答は導き出せません。

上手く導き出せない時は、時間に追われず冷静に解く必要があるので、一度後回しにした方が良いかもしれません。

問題

次の文章は、帯電した導体球に関する記述である。
真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率をε_0[F/m]、重力加速度をg[m/s^2]とする。
A及びBは同じ大きさと質量m[kg]をもつ。
糸の長さは各導体球の中心点が点Oから距離l[m]となる長さである。

まず、導体球A及びBにそれぞれ電荷Q[C]3Q[C]を与えて帯電させたところ、静電力による が生じ、図のようにA及びBのd[m]離れた状態で釣り合った。ただし、導体球の直径はdに比べて十分に小さいとする。
このとき、個々の導体球において、静電力F= [N]、重力mg[N]、糸の張力T[N]、の三つの力が釣り合っている。三平方の定理よりF^2+(mg)^2=T^2が成り立ち、張力の方向を考えると\displaystyle \frac{F}{T}\displaystyle \frac{d}{2l}に等しい。
これらによりTを消去し整理すると、dが満たす式として、

\displaystyle k\left( \frac{d}{2l}\right)^3 = \sqrt{1-\left( \frac{d}{2l}\right)^2}

が導かれる。ただし、係数k=である。

次に、AとBとを一旦接触させたところAB間で電荷が異動し、同電位となった。そしてAとBとが力の釣合いの位置に戻った。接触前に比べ、距離dした。

上記の記述中の空白箇所(ア)~(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(ア)(イ)(ウ)(エ)
(1)反発力\displaystyle \frac{3Q^2}{4\pi ε_0d^2}\displaystyle \frac{16\pi ε_0l^2mg}{3Q^2}増加
(2)吸引力\displaystyle \frac{Q^2}{4\pi ε_0d^2}\displaystyle \frac{4\pi ε_0l^2mg}{Q^2}増加
(3)反発力\displaystyle \frac{3Q^2}{4\pi ε_0d^2}\displaystyle \frac{4\pi ε_0l^2mg}{Q^2}増加
(4)反発力\displaystyle \frac{Q^2}{4\pi ε_0d^2}\displaystyle \frac{16\pi ε_0l^2mg}{3Q^2}減少
(5)吸引力\displaystyle \frac{Q^2}{4\pi ε_0d^2}\displaystyle \frac{4\pi ε_0l^2mg}{Q^2}減少


答え

(1)

要点整理

クーロン力について

クーロン力は、正電荷-正電荷や、負電荷-負電荷の間では、互いに反発力が働きます。

正電荷-負電荷の互いに符号が違う電荷間では引力が働きます。


二つの電荷間に働くクーロン力の大きさを求めます。

まず初めに、電荷+Q[C]が作り出す電界の強さE[V/m]を求めます。

\displaystyle E=\frac{Q}{ε_0S}
です。
面積Sは、球の表面積S=4πr^2なので、
\displaystyle E=\frac{Q}{4πε_0r^2}
と求まります。

次に、電荷+Q[C]が作り出した電界Eの中にある電荷q[C]に働くクーロン力F[N]は、

\displaystyle F=qE=\frac{qQ}{4πε_0r^2}

と求まります。

導体球にかかる力の向き

導体球にかかる力の向きは、図に示した通りです。

図の三角形のうち、クーロン力F[N]\frac{d}{2}[m]に対応し、糸の張力T[N]l[m]に対応します。

そのため、
\displaystyle \frac{F}{T}=\frac{\frac{d}{2}}{l}=\frac{d}{2l}
となります。

要点整理の適用

二つの球に正電荷を帯電させたため、反発力が発生します。

要点整理で示した通り、
\displaystyle F=3Q・E=\frac{3Q^2}{4πε_0d^2}   ………①
のクーロン力が働きます。


問題文中で下記②③式が与えられています。
F^2+(mg)^2=T^2   ………②
\displaystyle \frac{F}{T}=\frac{d}{2l}   ………③

③式を変形した式も用意しておきます。
\displaystyle \frac{1}{T}=\frac{1}{F}\frac{d}{2l}   ………④

②式をT^2で割った後、③・④式を代入します。
\displaystyle \left( \frac{F}{T} \right)^2+\left( \frac{mg}{T} \right)^2=1
\displaystyle \left( \frac{d}{2l} \right)^2+\left( \frac{mg}{F}\frac{d}{2l} \right)^2=1
\displaystyle \left( \frac{mg}{F}\frac{d}{2l} \right)^2=1-\left( \frac{d}{2l} \right)^2 
\displaystyle \frac{mg}{F}\frac{d}{2l} =\sqrt{1-\left( \frac{d}{2l} \right)^2}   ……⑤

⑤式に、①式を代入します。
\displaystyle \frac{4πε_0d^2mg}{3Q^2}\frac{d}{2l} =\sqrt{1-\left( \frac{d}{2l} \right)^2}
\displaystyle \frac{16πε_0l^2mg}{3Q^2} \left( \frac{d}{2l} \right)^3 =\sqrt{1-\left( \frac{d}{2l} \right)^2}   ………⑥
\displaystyle k \left( \frac{d}{2l} \right)^3 =\sqrt{1-\left( \frac{d}{2l} \right)^2}   ………⑦

以上、⑥⑦より、
\displaystyle k=\frac{16πε_0l^2mg}{3Q^2}

導体球を接触させると、導体球Bから導体球Aに電荷が移動し、両方の電荷は等しくなるので、それぞれの電荷は2Q[C]となります。
AB間の距離がd'[m]とすると、
\displaystyle F=\frac{4Q^2}{4πε_0d’^2}=\frac{Q^2}{πε_0d’^2}   ……⑧

導体球を接触させる前の式①と、後の式⑧を比較すると
\displaystyle \frac{3Q^2}{4πε_0d^2}=\frac{4Q^2}{4πε_0d’^2}=\frac{Q^2}{πε_0d’^2}
d’=\sqrt{\frac{4}{3}}d
以上より、d’dよりも増加しました。

以上より、答えは(1)です。

出典元

令和5年度第三種電気主任技術者試験 理論科目A問題下期問2

参考書

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本ブログの管理人は、電験3種過去問マスタを使って電験3種を取りました。
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