【電験三種：理論】令和４年度上期　問１

難易度

平行平板コンデンサの性質に関する問題で、少々ひねりが加えられているため、ある程度の理解が求められます。

問題

面積がともに$S [m^2]$で円形の二枚の電極板(導体平板)を、互いの中心が一致するように間隔$d [m]$で平行に向かい合わせて置いた平行板コンデンサがある。

電極板間は誘電率$ε[F/m]$の誘電体で一様に満たされ、電極板間の電位差は電圧$V[V]$の直流電源によって一定に保たれている。

この平行板コンデンサに関する記述として、誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

(1) 誘電体内の等電位面は、電極板と誘電体の境界面に対して平行である。
(2) コンデンサに蓄えられる電荷量は、誘電率が大きいほど大きくなる。
(3) 誘電体内の電界の大きさは、誘電率が大きいほど小さくなる。
(4) 誘電体内の電束密度の大きさは、電極板の単位面積当たりの電荷量の大きさに等しい。
(5) 静電エネルギーは誘電体内に蓄えられ、電極板の面積を大きくすると静電エネルギーは増大する。

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答え

（３）

要点整理

平行平板コンデンサの電界E[V/m]

平行平板コンデンサの電界$E[V/m]$の式
$\displaystyle E=\frac{Q}{ε_rε_0S}$
比誘電率$ε_r$、真空の誘電率$ε_0[F/m]$、極板面積$S[m^2]$は定数。

平行平板コンデンサの電界E[V/m]と電位V[V]

平行平板コンデンサの電界$E[V/m]$と電位$V[V]$の関係を示す式
$V=Ed$　⇔　$\displaystyle E=\frac{V}{d}$
極板間距離$d[m]$は定数。

平行平板コンデンサの等電位面

電荷Qと電束密度D

電荷$Q[C]$と、電束密度$D[C/m^2]$の関係式
$\displaystyle D=\frac{Q}{S}$
式中の$S$は、閉曲面面積$S[m^2]$

コンデンサの電荷Q・静電容量C・電位Vの関係式

電荷$Q[C]$・静電容量$C[F]$・電位$V[V]$の関係式は、
$Q=CV$

平行平板コンデンサの誘電率ε・電荷量Q・静電容量C

平行平板コンデンサの静電容量$C[F]$の式は
$\displaystyle C=ε\frac{S}{d}$

平行平板コンデンサの静電容量$C[F]$の式を証明します。

平行平板コンデンサの電界E[V/m]と電位V[V]の要点整理から、
$V=Ed$　　　………①

平行平板コンデンサの電界E[V/m]の要点整理から、
$\displaystyle E=\frac{Q}{εS}$　　　………②

電荷Q・静電容量C・電位Vの関係式から、
$Q=CV$
⇔ $\displaystyle C=\frac{Q}{V}$　　　………③

これらより、静電容量の式が求められます。
③式に①・②式を代入していくと、次のように展開できます。
$\displaystyle C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{Ed}=\frac{Q}{\frac{Q}{εS}d}=ε\frac{S}{d}$

以上より、$\displaystyle C=ε\frac{S}{d}$が求められました。

静電エネルギーU[J]

静電エネルギーの式
$\displaystyle U=\frac{1}{2}CV^2$

実際に、積分をして静電エネルギーの式を求めます。
$q=CV$の式から、電位Vの式は、$\displaystyle V=\frac{q}{C}$です。
これを微小電荷$Δq$のエネルギー$ΔW$の式に代入すると、

$\displaystyle ΔW=V・Δq=\frac{q}{C}Δq$

静電エネルギー $U[J]$を求めるため、$ΔW$を積分すると、
$\displaystyle U=\int_0^Q ΔW=\int_0^Q \frac{q}{C}dq=\left[ \frac{q^2}{2C} \right]_0^Q=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}CV^2$

以上より、
$\displaystyle U=\frac{1}{2}CV^2$
が求まりました。

回答解説

各選択肢について解説していきます。

(1) 誘電体内の等電位面は、電極板と誘電体の境界面に対して平行である。
平行平板コンデンサの等電位面の要点整理に記載したとおり、誘電体内の等電位面は、電極板と誘電体の境界面に対して平行です。

(2) コンデンサに蓄えられる電荷量は、誘電率が大きいほど大きくなる。
平行平板コンデンサの誘電率ε・電荷量Q・静電容量Cの要点整理から、
平行平板コンデンサの静電容量$C[F]$は$\displaystyle C=ε\frac{S}{d}$です。
電荷$Q[C]$は、$Q=CV$なので、
$\displaystyle Q=CV=ε\frac{S}{d}V$
となります。
したがって、コンデンサに蓄えられる電荷量は、誘電率$ε[F/m]$が大きい程大きくなります。

(3) 誘電体内の電界の大きさは、誘電率が大きいほど小さくなる。
この選択肢が間違っており、答えですが、よく考えないと引っかかってしまう可能性があります。
平行平板コンデンサの電界E[V/m]の要点整理に記載した、
$\displaystyle E=\frac{Q}{εS}$から、正しいとすると間違えです。

この式の電荷$Q$は、$\displaystyle Q=CV=ε\frac{S}{d}V$です。
この電荷$Q$の式を展開すると、
$\displaystyle E=\frac{Q}{εS}=ε\frac{S}{d}V・\frac{1}{εS}=\frac{V}{d}$
となります。
したがって、誘電体内の電界の大きさは、誘電率に影響を受けないが正しいです。

平行平板コンデンサの電界E[V/m]と電位V[V]の関係式から、
$\displaystyle E=\frac{V}{d}$の関係を使って回答すると早いです。

(4) 誘電体内の電束密度の大きさは、電極板の単位面積当たりの電荷量の大きさに等しい。
電荷$Q[C]$と、電束密度$D[C/m^2]$の関係式は、閉曲面面積$S[m^2]$を使って
$\displaystyle D=\frac{Q}{S}$です。
したがって、誘電体内の電束密度の大きさは、電極板の単位面積当たりの電荷量の大きさに等しいです。

(5) 静電エネルギーは誘電体内に蓄えられ、電極板の面積を大きくすると静電エネルギーは増大する。
静電エネルギーの式は、$\displaystyle U=\frac{1}{2}CV^2[J]$です。
コンデンサの静電容量$C$の式は、$\displaystyle C=ε\frac{S}{d}$なので、
静電エネルギーの式を書き直すと、$\displaystyle U=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}ε\frac{S}{d}V^2[J]$
したがって、電極板の面積$S[m^2]$を大きくすると、静電エネルギー$U[J]$は増大します。

以上より、（３）が答えです。

出典元

一般財団法人　電気技術者試験センター
　令和４年度第三種電気主任技術者試験　理論科目A問題上期問１

参考書