【電験三種：理論】令和４年度下期　問１７

（ａ）の解答の流れ
①静電気力の式から比例定数を計算する

①静電気力の式から比例定数を計算する

点電荷の静電気力の式は、
\(\displaystyle F=\frac{Q_1Q_2}{4πε_0r^2}=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}\)

です。

・導体球Aの電荷\(Q_1=2×10^{-8}C\)
・導体球Bの電荷\(Q_2=3×10^{-8}C\)
・両導体球の距離\(r=0.3m\)
・静電気力\(F=6×10^{-5}N\)
を代入すると、比例定数ｋは次のように求まります。

\(\displaystyle k=\frac{6×10^{-5}・0.3^2}{2×10^{-8}・3×10^{-8}}=9×10^{-9}\)

以上より、（ａ）問題の答えは（４）\(9×10^{-9}\)　が答えです。

（ｂ）の解答の流れ
①導体球A・Cを接触させたときの電荷を求める
②導体球B・Cを接触させたときの電荷を求める
③静電気力がつり合う距離\(r\)を求める

①導体球A・Cを接触させたときの電荷を求める

導体球A・Cを接触させる前の電荷\(Q_A\)、\(Q_C\)
\(Q_A=2×10^{-8}\)、\(Q_C=0\)です。

導体球A・Cを接触させた後の電荷\(Q’_A\)、\(Q’_C\)は、
\(\displaystyle Q’_A=Q’_C=\frac{Q_A+Q_C}{2}=\frac{2×10^{-8}+0}{2}=1×10^{-8}\)です。

②導体球B・Cを接触させたときの電荷を求める

導体球B・Cを接触させる前の電荷\(Q_B\)、\(Q’_C\)
\(Q_B=3×10^{-8}\)、\(Q’_C=1×10^{-8}\)です。

導体球B・Cを接触させた後の電荷\(Q’_B\)、\(Q”_C\)は、
\(\displaystyle Q’_B=Q”_C=\frac{Q_B+Q’_C}{2}=\frac{3×10^{-8}+1×10^{-8}}{2}=2×10^{-8}\)です。

③静電気力がつり合う距離\(r\)を求める

静電気力の式を立式します。
・導体球AC間の静電気力\(F_{AC}\)
\(\displaystyle F_{AC}=k・\frac{2×10^{-16}}{r^2}\)

・導体球BC間の静電気力\(F_{BC}\)
\(\displaystyle F_{BC}=k・\frac{4×10^{-16}}{(0.3-r)^2}\)

\(F_{AC}=F_{BC}\)なので、
\(\displaystyle k\frac{2×10^{-16}}{r^2}=k\frac{4×10^{-16}}{(0.3-r)^2}\)

⇔\(\displaystyle (0.3-r)^2=2r^2\)
⇔\(\displaystyle r^2+0.6r-0.09=0\)

二次方程式の解の公式から、

\(\displaystyle r=\frac{-0.6±\sqrt{0.6^2-4・1・(-0.09）}}{2}=0.124\)

なお、もう一つの解である-0.724は不適切なので、\(r=0.124[m]\)と求まります。

以上より、（ｂ）問題の答えは（４）0.124　です。

二次方程式の解の公式
\(ax^2+bx+c=0\)の二次方程式の解\(x\)は、解の公式から求められます。
\(\displaystyle x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

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