【電験三種：理論】令和３年度　問７

①　直列接続された電圧$E[V]$・内部抵抗$r[Ω]$の$n$個の電池をまとめる

直列接続された$n$個の電圧源$E[V]$をまとめると、$nE[V]$となります。
直列接続された$n$個の内部抵抗$r[Ω]$をまとめると、$nr[Ω]$となります。

②　回路に流れる電流$I[A]$の式を求める

$nr[Ω]$の内部抵抗と、$R[Ω]$の可変抵抗が直列接続された回路に流れる電流$I[A]$は、

$\displaystyle I=\frac{nE}{nr+R}$

③　可変抵抗$R[Ω]$で消費する電力の式を求める

抵抗$R[Ω]$の可変抵抗で消費される消費電力を$P[W]$とすると、

$\displaystyle P=I^2R=\left( \frac{nE}{nr+R}\right) ^2R$

整理すると、
$\displaystyle P=\frac{n^2E^2R}{(nr+R)^2}$

④　消費電力が最大となる抵抗値$R[Ω]$の値を求める

消費電力$P[W]$が最大となる時の抵抗値$R[Ω]$を求めるには、消費電力$P[W]$を抵抗値$R[Ω]$で微分した時の値が0になるときの$R[Ω]$の値となります。これを式で表すと、次式となります。
$\displaystyle \frac{dP}{dR}=0$

計算していきます。
$\displaystyle \frac{dP}{dR}=\frac{d}{dR}\left( \frac{n^2E^2R}{(nr+R)^2}\right)$

⇔　$\displaystyle =\frac{n^2E^2(nr+R)^2-n^2E^2R(2(R+nr))}{(nr+R)^2}$

⇔　$\displaystyle =\frac{(nr-R)n^2E^2}{(nr+R)^3}$

よって、$R=nr$のとき、$\displaystyle \frac{dP}{dR}=0$となります。

したがって、$R=nr$のときに消費電力は最大となります。

⑤　②で計算した電流$I[A]$の式に、④で求めた抵抗値$R[Ω]$を代入する
②で求めた式、$\displaystyle I=\frac{nE}{nr+R}$に、

④で求めた$R=nr$を代入すると、
$\displaystyle I=\frac{nE}{nr+nr}=\frac{E}{2r}$となります。

以上より、（４）$\displaystyle I=\frac{E}{2r}$ が答えとなります。