【電験三種：理論】令和３年度　問７

①　直列接続された電圧\(E[V]\)・内部抵抗\(r[Ω]\)の\(n\)個の電池をまとめる

直列接続された\(n\)個の電圧源\(E[V]\)をまとめると、\(nE[V]\)となります。
直列接続された\(n\)個の内部抵抗\(r[Ω]\)をまとめると、\(nr[Ω]\)となります。

②　回路に流れる電流\(I[A]\)の式を求める

\(nr[Ω]\)の内部抵抗と、\(R[Ω]\)の可変抵抗が直列接続された回路に流れる電流\(I[A]\)は、

\(\displaystyle I=\frac{nE}{nr+R}\)

③　可変抵抗\(R[Ω]\)で消費する電力の式を求める

抵抗\(R[Ω]\)の可変抵抗で消費される消費電力を\(P[W]\)とすると、

\(\displaystyle P=I^2R=\left( \frac{nE}{nr+R}\right) ^2R\)

整理すると、
\(\displaystyle P=\frac{n^2E^2R}{(nr+R)^2}\)

④　消費電力が最大となる抵抗値\(R[Ω]\)の値を求める

消費電力\(P[W]\)が最大となる時の抵抗値\(R[Ω]\)を求めるには、消費電力\(P[W]\)を抵抗値\(R[Ω]\)で微分した時の値が0になるときの\(R[Ω]\)の値となります。これを式で表すと、次式となります。
\(\displaystyle \frac{dP}{dR}=0\)

計算していきます。
\(\displaystyle \frac{dP}{dR}=\frac{d}{dR}\left( \frac{n^2E^2R}{(nr+R)^2}\right)\)

⇔　\(\displaystyle =\frac{n^2E^2(nr+R)^2-n^2E^2R(2(R+nr))}{(nr+R)^2}\)

⇔　\(\displaystyle =\frac{(nr-R)n^2E^2}{(nr+R)^3}\)

よって、\(R=nr\)のとき、\(\displaystyle \frac{dP}{dR}=0\)となります。

したがって、\(R=nr\)のときに消費電力は最大となります。

⑤　②で計算した電流\(I[A]\)の式に、④で求めた抵抗値\(R[Ω]\)を代入する
②で求めた式、\(\displaystyle I=\frac{nE}{nr+R}\)に、

④で求めた\(R=nr\)を代入すると、
\(\displaystyle I=\frac{nE}{nr+nr}=\frac{E}{2r}\)となります。

以上より、（４）\(\displaystyle I=\frac{E}{2r}\) が答えとなります。

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