概要
RL回路の過渡応答の問題です。
抵抗を変化させたさせたときの電流の大きさと、時定数の変化について問われている問題です。
過渡応答の中でも基礎問題です。
キーワード
RL回路、過渡応答、時定数
問題
開放電圧がV[V]で出力抵抗が十分に低い直流電圧源と、インダクタンスがL[H]のコイルが与えられ、抵抗R[Ω]が図1のようにスイッチSを介して接続されている。
時刻t=0でスイッチSを閉じ、コイルの電流i_L[A]の時間に対する変化を計測して、波形として表す。
R=1Ωとしたところ、波形が図2であったとする。
R=2Ωであればどのような波形となるか、波形の変化を最も適切に表すものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし、選択肢の図中の点線は図2と同じ波形を表し、実線はR=2Ωのときの波形を表している。




答え
(4)
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関連箇所直リンク
・RL回路の過渡解析
回答解説
回答の流れ
①RL回路のi_Lについて微分方程式を立てる
②過渡状態を解析する
③定常状態を解析する
④初期状態を解析する
⑤i_Lの一般解を求める
⑥Rを変更前後の式を比較する

①RL回路のi_Lについて微分方程式を立てる
キルヒホッフの電圧則から、
V=v_R+v_L …(1)
オームの法則から、
v_R=Ri_L …(2)
v_L=L\frac{di_L}{dt} …(3)
(1)式に(2)・(3)式を代入すると、
V=Ri_L+L\frac{di_L}{dt}
②過渡状態を解析する
過渡状態の電流をi_{Lt}とします。
i_{Lt}=ke^{-st}としたとき、
\frac{di_{Lt}}{dt}=-ske^{-st}
0=Ri_{Lt}+L\frac{di_{Lt}}{dt}=Rke^{-st}-Lske^{-st}=(R-Ls)ke^{-st}
⇔s=\frac{R}{L} …(4)
③定常状態を解析する
定常状態の電流をi_{Ls}とします。
定常状態のとき、\frac{di_{Ls}}{dt}=0となります。
したがって、定常状態の回路の方程式は、
V=Ri_{Ls} ⇔ i_{Ls}=\frac{V}{R}
④初期状態を解析する
i_Lは、過渡解i_{Lt}と定常解i_{Ls}を足し合わせた電流です。
i_L=i_{Lt}+i_{Ls}
スイッチSを閉じた直後であるt=0sのとき、i_Lの初期状態の電流をi_L(0)とします。
コイルは、状態変化をした直後は電流を完全に遮断するので、i_L(0)=0Aです。
i_L(0)=i_{Lt}+i_{Ls}=ke^{-\frac{R}{L}0}+\frac{V}{R}=k+\frac{V}{R}=0
⇔k=-\frac{V}{R}
⑤i_Lの一般解を求める
i_Lは次のように求まります。
i_L=\frac{V}{R}\left( 1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)
⑥Rを変更前後の式を比較する
問題のグラフから、V=3[V]
R=1Ωのとき、
i_L=3\left( 1-e^{-\frac{1}{L}t}\right)
R=2Ωのとき、
i_L=1.5\left( 1-e^{-\frac{2}{L}t}\right)
よって、R=2Ωの時のi_Lは、次の二つのことがわかります。
(a) 1.5Vに収束する
(b) R=1のグラフよりも時定数が短くなる ⇒ グラフが早く立ち上がる
(a)から、1.5Vに収束するグラフは(4)と(5)のみです。
R=1Ωのグラフと比較して、(4)のグラフは立ち上がりが早く、(5)のグラフは立ち上がりが遅いです。
以上より、R=2Ωのときのi_Lのグラフは(4)です。

出典元
一般財団法人電気技術者試験センター (https://www.shiken.or.jp/index.html)
令和3年度 第三種電気主任技術者試験 理論科目A問題問10
参考書
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