【電験三種：理論】令和３年度　問１

概要

電束密度$D$と、電気力線$E$が、誘電率$ε$の違いによってどのように変化するかを問う問題です。
電束・電気力線に関する基本的な事を抑えていれば回答できます。

キーワード
コンデンサの並列接続、比誘電率、電束の総数、電束密度$D[C/m^2]$、電界強度$E[V/m]$

問題

図のように、同じ寸法の直方体で誘電率の異なる二つの誘電体（比誘電率$ε_{r1}$の誘電体１と比誘電率$ε_{r2}$の誘電体２）が平行板コンデンサに充填されている。

極板間は一定の電圧$V[V]$に保たれ、極板Aと極板Bにはそれぞれ$+Q[C]$と$-Q[C]$（$Q>0$）の電荷が蓄えられている。

誘電体１と誘電体２は平面で接しており、その境界面は極板に対して垂直である。
ただし、端効果は無視できるものとする。

この平行板コンデンサにおいて、極板A,Bに平行な誘電体１、誘電体２の断面をそれぞれ面$S_1$、面$S_2$（面$S_1$と面$S_2$の断面積は等しい）とすると、面$S_1$を貫く電気力線の総数（任意の点の電気力線の密度は、その点での電界の大きさを表す）は、面$S_2$を貫く電気力線の総数のア倍である。

面$S_1$を貫く電束の総数は面$S_2$を貫く電束の総数のイ倍であり、面$S_1$と面$S_2$を貫く電束の数の総和はウである。

上記の記述中の空白箇所（ア）～（ウ）に当てはまる組合せとして、正しいものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。

	（ア）	（イ）	（ウ）
（１）	１	$\displaystyle \frac{ε_{r1}}{ε_{r2}}$	Q
（２）	１	$\displaystyle \frac{ε_{r1}}{ε_{r2}}$	$\displaystyle \frac{Q}{ε_r1}+\frac{Q}{ε_r2}$
（３）	１	$\displaystyle \frac{ε_{r2}}{ε_{r1}}$	$\displaystyle \frac{Q}{ε_r1}+\frac{Q}{ε_r2}$
（４）	$\displaystyle \frac{ε_{r2}}{ε_{r1}}$	１	$\displaystyle \frac{Q}{ε_r1}+\frac{Q}{ε_r2}$
（５）	$\displaystyle \frac{ε_{r2}}{ε_{r1}}$	１	Q

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答え

（１）

要点整理

平行平板コンデンサの電界の強さE[V/m]

平行平板コンデンサの電界の強さEは次式で表されます。
$\displaystyle E=\frac{Q}{ε_rε_0S}$

$\displaystyle E=\frac{Q}{ε_rε_0S}$ の式中の電荷$Q[C]$は、コンデンサの誘電率$ε[F/m]$によって変動します。
誘電率$ε$が違うコンデンサの比較をするような問題の場合、この式をそのまま適用すると誤答となりますので、考え方としては重要な式ですが、使う機会は少ないかもしれません。

極板上の電荷Q[C]

極板上に蓄えられる電荷$Q[C]$は、静電容量$C[F]$、電圧$V[V]$としたとき、次式で表されます。
$Q=CV$　　　………①

電荷$Q[C]$は、コンデンサの静電容量$C=ε\frac{S}{d}$であることから、次式で表されます。
$Q=ε\frac{S}{d}V$　　　………②

コンデンサの誘電率$ε[F/m]$、コンデンサの極板面積$S[m^2]$、コンデンサの極板間距離$d[m]$、電圧$V[V]$です。

電界と電圧の関係

電界の強さ$E[V/m]$と、電位$V[V]$の関係は、極板間距離を$d[m]$とした時、次式で表されます。
$V=Ed$

$V=Ed$
この式は、平行平板コンデンサの問題で、回答する際にほぼ必ず使う式です。
最も重要な式と言っても良いので、必ず覚えましょう。

$\displaystyle V=-\int_d^0E・dr=-\int_d^0\frac{Q}{εS}dr=-\frac{Q}{εS}[r]_d^0=\frac{Q}{εS}d=Ed$

以上より、$V=Ed$が導出できました。

また、電界の強さ$E$の式から、電荷・静電容量・電圧の関係式を代入することでも導き出せます。
電界の強さ ： $E=\frac{Q}{εS}$　　　………①
電荷・静電容量・電圧の関係式 ： $Q=CV$　　　………②
コンデンサの静電容量 ： $C=ε\frac{S}{d}[F]$　　　………③
①式に②・③式を代入すると、

$\displaystyle E=\frac{Q}{εS}=C\frac{V}{εS}=\frac{εS}{d}・\frac{V}{εS}=\frac{V}{d}$

よって、$\displaystyle E=\frac{V}{d}$が導き出せました。

平行平板コンデンサの電界の電束密度D

電束密度$D[C/m^2]$は、電荷（電束）$Q[C]$の密度です。

電束密度$D[C/m^2]$は、極板面積$S[m^2]$、電荷（電束）$Q[C]$としたとき、次式で表されます。
$\displaystyle D=\frac{Q}{S}[C/m2]$

電束Q[C]・電束密度D[C/m2]・電気力線の本数N[本]・電界の強さE[V/m]の関係

電束密度$D[C/m^2]$と電界の強さ$E[V/m]$の関係式は、誘電率$ε[F/m]$を使って次式で表されます。
$D=εE$

回答解説

アの回答

二つの誘電体は、「誘電体１と誘電体２は平面で接しており、その境界面は極板に対して垂直である」という設問の条件から、誘電体１と誘電体２は電源に対して並列接続されているとみなせます。そのため、誘電体１、誘電体２それぞれに電圧$V[V]$が印加されていると考えられます。

$V=Ed$　⇔　$E=\frac{V}{d}[V/m]$　の関係式から、

$\displaystyle E_1=\frac{V}{d}$　　　………①

$\displaystyle E_2=\frac{V}{d}$　　　………②

であることがわかります。
電界の強さ$E[V/m]$は、電気力線の密度であるので、電気力線の総数N[本]は、
$N=ES$の式で求められます。

$\displaystyle N_1=E_1S_1=\frac{S_1V}{d}$　　　………③

$\displaystyle N_2=E_2S_2=\frac{S_2V}{d}$　　　………④

③÷④式かつ、$S_1=S_2$から、

$\displaystyle \frac{N_1}{N_2}=1$

したがって、（ア）は、１です。

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イの回答

電束密度$D[C/m^2]$と、電界の強さ$E[V/m]$の関係式は、次式で表されます。
$D=εE$　　　………⑤

⑤式に、①・②式の電界の強さと、各誘電体の誘電率$ε_{r1}$、$ε_{r2}$を代入すると、

$\displaystyle D_1=ε_1E_1=ε_{r1}\frac{V}{d}$　　　………⑥

$\displaystyle D_2=ε_2E_2=ε_{r2}\frac{V}{d}$　　　………⑦

面$S_1$を貫く電束の総数を$Q_1[C]$
面$S_2$を貫く電束の総数を$Q_2[C]$とすると、

$\displaystyle Q_1=D_1S_1=\frac{ε_{r1}S_1V}{d}$　　　………⑧

$\displaystyle Q_2=D_2S_2=\frac{ε_{r2}S_2V}{d}$　　　………⑨

⑧÷⑨式かつ、$S_1=S_2$から、

$\displaystyle \frac{Q_1}{Q_2}=\frac{ε_{r1}}{ε_{r2}}$

したがって、（イ）は、$\frac{ε_{r1}}{ε_{r2}}$です。

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ウの回答

面$S_1$と面$S_2$を貫く電束の数の総和は、極板A、Bに溜まった電荷（電束）であるため、$Q[C]$です。

なお、（イ）の設問で求めた$Q_1$と$Q_2$と、コンデンサ全体の電束の数の総和の関係は、
$Q=Q_1+Q_2$
です。

したがって、（ウ）は、$Q[C]$です。

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以上より、（１）が答えとなります。

出典元

一般財団法人　電気技術者試験センター
　令和３年度第三種電気主任技術者試験　理論科目A問題問１

参考書