合成抵抗とは
二つ以上の抵抗を電源に接続すると、電源から見た抵抗値は、全ての抵抗値を合成した抵抗値となります。
接続方法には、直列接続、並列接続の二つの接続方法があり、この違いによって、合成抵抗値・各抵抗の電圧・電流値が異なってきます。
直列接続の場合は、合成抵抗値が各抵抗値よりも大きくなります。
並列接続の場合は、合成抵抗値が各抵抗値よりも小さくなります。
これは、直列接続の場合は、電源から送られた電流が通りづらい抵抗を２回通らなければならないのに対し、並列接続の場合は、電流が通りやすい方の抵抗を通ることができるためです。
公式一覧
直列接続時の各抵抗にかかる電圧V_1[V]、V_2[V]
\displaystyle V_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}V
\displaystyle V_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}V
直列接続時の各抵抗に流れる電流I[A]
全ての抵抗に \displaystyle I=\frac{V}{R} の電流が流れる。
直列接続時の合成抵抗R[Ω]
R=R_1+R_2
並列接続時の各抵抗にかかる電圧
全てV[V]が印加される。
並列接続時の各抵抗に流れる電流I_1、I_2
\displaystyle I_1=\frac{R_2}{R_1+R_2}I
\displaystyle I_2=\frac{R_1}{R_1+R_2}I
並列接続時の合成抵抗R[Ω]
\displaystyle \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}
直列接続
直列接続時の各抵抗にかかる電圧V_1[V]、V_2[V]
\displaystyle V_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}V
\displaystyle V_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}V
直列接続時の各抵抗に流れる電流I[A]
全ての抵抗に \displaystyle I=\frac{V}{R} の電流が流れる。
直列接続時の合成抵抗R[Ω]
R=R_1+R_2
直列の合成抵抗の導出
抵抗の直列接続時の電流は、キルヒホッフの電流則から入ってくる電流と、出て行く電流が等しいです。そのため、各抵抗R_1、R_2に流れる電流は両方ともI[A]です。
閉回路の電源による起電力と、負荷の電圧降下は等しいという、キルヒホッフの電圧則から、次の②式が成り立ちます。
V=V_1+V_2 …①
オームの法則から、
V=IR …②
V_1=IR_1 …③
V_2=IR_2 …④
①式に②～④式を代入すると、
IR=IR_1+IR_2
⇔R=R_1+R_2
以上より、直列接続時の合成抵抗R=R_1+R_2が導出できました。
直列抵抗の分圧の導出
各抵抗R_1、R_2に流れる電流は両方ともI[A]です。
Iは、オームの法則から、①式で表されます。
\displaystyle I=\frac{V}{R}=\frac{V}{R_1+R_2} …①
抵抗R_1[Ω]に印加される電圧V_1[V]は、オームの法則から、②式のように導出できます。
\displaystyle V_1=IR_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}V …②
抵抗R_2[Ω]に印加される電圧V_2[V]は、オームの法則から、③式のように導出できます。
\displaystyle V_2=IR_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}V …③
以上、②・③式から、直列抵抗の分圧式が導出できました。
並列接続
並列接続時の各抵抗にかかる電圧V[V]
全ての抵抗にVが印加される。
並列接続時の各抵抗に流れる電流I_1[A]、I_2[A]
\displaystyle I_1=\frac{R_2}{R_1+R_2}I
\displaystyle I_2=\frac{R_1}{R_1+R_2}I
並列接続時の合成抵抗R[Ω]
\displaystyle \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}
並列の合成抵抗の導出
各抵抗R_1、R_2に印加される電圧は、両方ともV[V]です。
各抵抗に流れる電流I_1[A]、I_2[A]は、オームの法則から、
\displaystyle I_1=\frac{V}{R_1} …①
\displaystyle I_2=\frac{V}{R_2} …②
合成抵抗Rに印加される電圧は、V[V]です。
合成抵抗Rに流れる電流I[A]は、オームの法則から
\displaystyle I=\frac{V}{R} …③
キルヒホッフの電流則から入ってくる電流と、出て行く電流が等しくなるので、
I=I_1+I_2 …④
④式に①・②・③式を代入すると、
\displaystyle \frac{V}{R}=\frac{V}{R_1}+\frac{V}{R_2}
⇔\displaystyle \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}
以上より、並列接続時の合成抵抗\displaystyle \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}が導出できました。
並列抵抗の分路電流の導出
合成抵抗Rに流れる電流I[A]は、オームの法則から、
\displaystyle I=\frac{V}{R} …①
合成抵抗Rを計算すると、
\displaystyle \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_1+R_2}{R_1 R_2} …②
①式に②式を代入すると、
\displaystyle I=\frac{R_1+R_2}{R_1 R_2}V …③
各抵抗R_1、R_2に流れる電流I_1[A]、I_2[A]は、オームの法則から、
\displaystyle I_1=\frac{V}{R_1} …④
\displaystyle I_2=\frac{V}{R_2} …⑤
まずは、抵抗R_1に流れる電流I_1[A]から求めて行きます。
キルヒホッフの電流則から入ってくる電流と、出て行く電流が等しくなるので、
I=I_1+I_2
⇔ I_1=I-I_2 …⑥
⑥式に③・⑤式を代入すると、
\displaystyle \begin{eqnarray} I_1&=&I-I_2=\frac{R_1+R_2}{R_1 R_2}V-\frac{V}{R_2}=\frac{R_1+R_2}{R_1 R_2}V-\frac{R_1}{R_1 R_2}V=\frac{R_2}{R_1 R_2}V \end{eqnarray}
次に、抵抗R_2に流れる電流I_2[A]を同様に求めると、
\displaystyle \begin{eqnarray} I_2&=&I-I_1=\frac{R_1+R_2}{R_1 R_2}V-\frac{V}{R_1}=\frac{R_1+R_2}{R_1 R_2}V-\frac{R_2}{R_1 R_2}V=\frac{R_1}{R_1 R_2}V \end{eqnarray}
以上より、並列抵抗の分路電流\displaystyle I_1=\frac{R_2}{R_1 R_2}V、\displaystyle I_2=\frac{R_1}{R_1 R_2}Vが導出できました。
過去問
難易度 ★☆☆☆☆
| 電験三種 令和５年度下期 問５ | 直並列接続された抵抗の消費電力の計算 |
| 電験三種 令和５年度下期 問７ | 回路条件切替による抵抗値の計算 |
| 電験三種 平成２１年度 問６ | 直並列回路の抵抗値の計算 |
難易度 ★★☆☆☆
| 電験三種 令和５年度上期 問６ | 電圧源・電流源からなる２電源回路の解析 |
関連記事（直流回路に関する解説）
参考書
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