ブリッジ回路

回路の構成と原理

・測定対象\(R_1\)
・抵抗\(R_2\)、\(R_3\)
・可変抵抗\(R_4\)
をブリッジ状に接続して、ブリッジ回路の真ん中に、電流がわずかにでも流れると針が振れる検流計を接続することで構成されます。

可変抵抗を調整して、検流計の針が振れなくなったときが、ブリッジ回路が平衡になったときです。

このときの３つの抵抗を読み取ることで、次式で測定対象の抵抗値がわかります。
\(\displaystyle R_1=\frac{R_2R_3}{R_4}\)

回路の構成と原理

・直列接続された測定対象の抵抗\(R_1\)、容量\(C_1\)
・抵抗\(R_2\)
・容量\(C_3\)
・並列接続された可変抵抗\(R_4\)、容量\(C_4\)
をブリッジ状に接続して、ブリッジ回路の真ん中に、電流がわずかにでも流れると針が振れる検流計を接続することで構成されます。

直列接続された測定対象\(R_1\)と\(C_1\)の合成インピーダンス\(Z_1\)は、
\(Z_1=R_1+\frac{1}{jωC_1}=\frac{1+jωC_1R_1}{jωC_1}\)

並列接続された\(R_4\)と\(C_4\)の合成インピーダンス\(Z_4\)は、
\(\frac{1}{Z_4}=\frac{1}{R_4}+jωC_4\)　⇔　\(Z_4=\frac{R_4}{1+jωC_4R_4}\)

平行条件は、
\(\left( \frac{1+jωC_1R_1}{jωC_1} \right) \left( \frac{R_4}{1+jωC_4R_4} \right) = R_2・\frac{1}{jωC_3}\)
⇔\(jωC_3(1+jωC_1R_1)R_4=jωC_1(1+jωC_4R_4)R_2\)
⇔\(C_3R_4+jωC_1C_3R_1R_4=C_1R_2+jωC_1C_4R_2R_4\)

実数部から、\(C_3R_4=C_1R_2\)　⇔　\(C_1=\frac{R_4}{R_2}C_3\)　…①

虚数部から、\(C_3R_1=C_4R_2\)　⇔　\(R_1=\frac{C_4}{C_3}R_2\)　…②

\(R_1\)の端子電圧を\(\vec{V_{R1}}\)
\(C_1\)の端子電圧を\(\vec{V_{C1}}\)
\(R_1\)・\(C_1\)の直列接続の端子電圧を\(\vec{V_1}\)
流れる電流を\(\vec{I}\)
として、ベクトル図に示すと、図のようになります。

\(|V_{R1}|=R_1I\)
\(|V_{C1}|=\frac{I}{ωC_1}\)
なので、

\(\displaystyle tanδ=\frac{|V_{R1}|}{|V_{C1}|}=\frac{R_1I}{\frac{I}{ωC_1}}=ωC_1R_1\)
①・②式を代入すると、
\(tanδ=ωC_1R_1=ω\frac{R_4}{R_2}C_3・\frac{C_4}{C_3}R_2=ωC_4R_4\)

以上より、平衡した時の周波数、可変抵抗、可変容量の値から静電正接\(tanδ\)が求まります。

　

回路の構成と原理

・並列接続された抵抗\(R_1\)、容量\(C_1\)
・直列接続された抵抗\(R_2\)、容量\(C_2\)
・抵抗\(R_3\)、\(R_4\)
をブリッジ状に接続して、ブリッジ回路の真ん中に、電流がわずかにでも流れると針が振れる検流計を接続することで構成されます。

並列接続された\(R_1\)と\(C_1\)の合成インピーダンス\(Z_1\)は、
\(\displaystyle \frac{1}{Z_1}=\frac{1}{R_1}+jωC_1\)　⇔　\(\displaystyle Z_1=\frac{1}{\frac{1}{R_1}+jωC_1}\)

直列接続された\(R_2\)と\(C_2\)の合成インピーダンス\(Z_2\)は、
\(Z_2=R_2+\frac{1}{jωC_2}\)

他のインピーダンスは、
\(Z_3=R_3\)
\(Z_4=R_4\)

平行条件は、
\(Z_1Z_3=Z_2Z_4\)
⇔\(\displaystyle R_3 \left( \frac{1}{\frac{1}{R_1}+jωC_1} \right)=R_4 \left( R_2+\frac{1}{jωC_2}\right)\)
⇔\(\displaystyle \frac{R_3}{R_4}=\left( \frac{1}{R_1}+jωC_1 \right) \left( R_2+\frac{1}{jωC_2}\right)\)
⇔\(\displaystyle \frac{R_3}{R_4}=\frac{R_2}{R_1}+\frac{C_1}{C_2}+jωC_1R_2+\frac{1}{jωC_2R_1}\)

実数部から
\(\displaystyle \frac{R_3}{R_4}=\frac{R_2}{R_1}+\frac{C_1}{C_2}\)
実部が成り立つ条件として、\(R_3=2R_4\)、\(R_1=R_2\)、\(C_1=C_2\)とします。
※両辺０となれば良いです。
このとき、\(2=1+1\)となり、実数部の式は成り立ちます。

虚数部から
\(\displaystyle 0=jωC_1R_2+\frac{1}{jωC_2R_1}\)
⇔　\(\displaystyle 0=j(ωC_1R_2-\frac{1}{ωC_2R_1})\)
⇔　\(\displaystyle ω^2=\frac{1}{C_1C_2R_1R_2}\)

　\(ω=2πf\)を代入すると、
⇔　\(\displaystyle 2πf=\frac{1}{\sqrt{C_1C_2R_1R_2}}\)　
⇔　\(\displaystyle f=\frac{1}{2π\sqrt{C_1C_2R_1R_2}}\)
実数部が成り立つ条件から、\(R_1=R_2\)、\(C_1=C_2\)を代入すると、
\(\displaystyle f=\frac{1}{2πC_1R_1}\)

以上より、ウィーンブリッジ回路が平衡したときの電源周波数は、\(\displaystyle f=\frac{1}{2πC_1R_1}\)

回路の構成と原理

・直列接続された測定対象の抵抗\(R_x\)と、
　インダクタンス\(L_x\)からなる誘導性インピーダンス\(Z_x\)
・抵抗\(R_2\)、\(R_3\)
・並列接続された抵抗\(R_4\)、容量\(C_4\)

をブリッジ状に接続して、ブリッジ回路の真ん中に、電流がわずかにでも流れると針が振れる検流計を接続することで構成されます。

直列接続された測定対象の誘導性インピーダンス\(Z_x\)は、\(R_x\)と\(L_x\)から、
\(Z_x=R_x+jωL_x\)

並列接続された\(R_4\)と\(C_4\)の合成インピーダンス\(Z_4\)は、
\(\displaystyle \frac{1}{Z_4}=\frac{1}{R_4}+jωC_4\)　⇔　\(\displaystyle Z_4=\frac{R_4}{1+jωC_4R_4}\)

他のインピーダンスは、
\(Z_2=R_2\)
\(Z_3=R_3\)

平衡条件\(Z_xZ_4=Z_2Z_3\)から、
\((R_x+jωL_x) \left( \frac{R_4}{1+jωC_4R_4} \right) =R_2R_3\)
⇔　\(R_4(R_x+jωL_x) =R_2R_3(1+jωC_4R_4)\)
⇔　\(R_4R_x+jωL_xR_4 =R_2R_3+jωC_4R_2R_3R_4\)

実数部から
\(R_4R_x=R_2R_3\)
⇔　\(\displaystyle R_x=\frac{R_2R_3}{R_4}\)

虚数部から
\(jωL_xR_4 =jωC_4R_2R_3R_4\)
⇔　\(L_x =C_4R_2R_3\)

以上より、マクスウェルブリッジ回路が平衡したときの誘導性インピーダンス\(Z_x\)の抵抗値\(R_x\)とインダクタンス\(L_x\)は、次のように求まることがわかりました。
\(\displaystyle R_x=\frac{R_2R_3}{R_4}\)

\(L_x =C_4R_2R_3\)