アンペアの法則とビオ・サバールの法則

電流とその周りにできる磁界について、関係を表す法則として、アンペアの法則と、ビオ・サバールの法則の２つあります。
本ページでは、それぞれについてアプローチしていきます。

アンペアの法則

電流が作る磁界中で、磁界の強さが等しい所をたどって１周したときの磁路の長さ\(l=2\pi r[m]\)と、磁界の強さ\(H[A/m]\)の積が、電流\(I[A]\)に等しいという法則です。
式に示すと、
\( \displaystyle I=\oint_C Hdl\) \(=Hl=H\times 2\pi r \)
となります。変形すると、
\(\displaystyle H=\frac{I}{2\pi r}[A/m]\)
となります。

電流\(I[A]\)の向きと、磁界\(H[A/m]\)の向きは右ねじの法則で示されます。
親指が電流の向き\(I[A]\)を示し、他の指が磁界の向き\(H[A/m]\)を示します。

ただし、コイルの場合は逆で、親指が磁界の向き\(H[A/m]\)を示し、他の指が電流の向き\(I[A]\)を示します。

コイルの場合の電流と磁界の向き

ビオ・サバールの法則

直線状の電線の場合

図１

微小な電流要素から得られる微小な磁界の強さを積分することで、電流と磁界の関係を導き出します。静電界について勉強した後、磁界について学ぶ際、式の対応が取れている事を足掛かりとして学ぶことが多いでしょう。

図１のように、直線電流\(I[A]\)が流れている電線から、\(a[m]\)離れた距離にある点\(P\)の磁界を求めます。

微小区間\(dl\)に流れる電流は、\(Idl\)です。
なす角を\(\theta\)、微小区間\(dl\)からの距離を\(r[m]\)としたとき、微小区間が点\(P\)に作る磁界\(dH[A/m]\)は、
\(\displaystyle dH=\frac{Idl}{4\pi r^2}・sin\theta\)
となります。

静電界における電束密度の式は、\(\displaystyle D=\frac{Q}{4\pi r^2}\)ですので、非常に似通った式であることがわかります。

磁界の式の分母の\(\displaystyle 4\pi r^2\)は、球の表面積です。
分子の\(\displaystyle Idl・sin\theta\)が、電束密度における\(Q\)に対応していることがわかります。

ここで、\(sin\theta\)が何故出てくるのかという疑問が浮かぶと思います。
\(sin\theta\)出てくる理由は、微小電流ベクトル\(I\overrightarrow{dl}\)と、位置ベクトル\(\vec{r}\)の外積によって磁界ベクトルが出来るため、\(sin\theta\)が出てきます。

式をベクトル形式で書くと、
\(\displaystyle \overrightarrow{dH}=\frac{I}{4\pi}\frac{\overrightarrow{dl}}{r^2}\times\frac{\vec{r}}{r}\)
となります。
それを、スカラー形式に書き換えて簡素化すると、
\(\displaystyle dH=\frac{I}{4\pi}\frac{|dl||r|sin\theta}{r^3}=\frac{Idl}{4\pi r^2}sin\theta\)
となります。

微小区間が作る磁界\(dH\)が求まったので、次は全区間が作る磁界\(H\)を求めていきます。

微小区間\(dl\)を積分することで、電線に流れる電流\(I\)が、点\(P\)に作る磁界\(H\)を求めることが出来ます。
\(\displaystyle H= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{Isin\theta}{4\pi r^2}dl\)
\(\displaystyle \frac{I}{4\pi}\)は、定数であるため、積分の外に出します。
すると、変数は\(\displaystyle \frac{sin\theta}{r^2}\)となります。書き換えると、
\(\displaystyle H=\frac{I}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{sin\theta}{r^2}dl\)　　　………①

このままだと計算できないので、\(dl\)の積分ではなく、\(d\theta\)の積分に変換することを考えます。

\(a=r sin\theta\)から、\(\displaystyle r=\frac{a}{sin\theta}\)　　　………②
\(\displaystyle l=-r cos\theta=-\frac{a cos\theta}{sin\theta}\)　　　………③
\(l\)は、原点よりマイナス側に居るので、マイナスを付けています。

③を\(d\theta\)で微分
\(\displaystyle \frac{dl}{d\theta}=-\left(\frac{-a sin\theta sin\theta -a cos\theta cos\theta}{sin^2\theta}\right)=\frac{a}{sin^2}\)
整理すると、
\(\displaystyle dl=\frac{a}{sin^2}d\theta\)　　　………④

積分範囲を求める。
\(l\)が\(-\infty\)のとき、\(θ\)は\(0\)となるので、\(-\infty→0\)　　　………⑤
\(l\)が\(\infty\)のとき、\(θ\)は\(\pi\)となるので、\(\infty→\pi\)　　　………⑥

①に②④⑤⑥を代入すると、
\(\displaystyle H=\frac{I}{4\pi}\int_0^{\pi} \frac{sin\theta}{a}d\theta=\frac{I}{4\pi a}\left[-cos\theta\right]_0^\pi=\frac{I}{2\pi a}[A/m]\)

整理すると、

\(\displaystyle H=\frac{I}{2\pi a}[A/m]\)

と求まります。

円形の電線の場合

円形の電線に流れる電流\(I[A]\)が、その中心点に作る磁界\(H[A/m]\)についても、ビオ・サバールの法則から求められます。

次は、円形の電線に電流が流れた場合の、電線の中心を点O、中心軸上の任意の点を点Pとしたときの、点Oの磁界を求めます。
点Oの磁界を求めるには、点Pのなす角\(φ\)が\(90°\)の時に点Oとなるので、まずは任意の点Pの磁界について考えます。

\(\displaystyle dH=\frac{Idl}{4\pi r^2}・sin\theta\)　　　………①

微小区間dlの電流が流れる方向と、点Pのなす角が、\(sin\theta\)です。
円形電線に電流が流れているため、dlの電流が流れる方向は電線の接線方向です。dlの方向と、点Pのなす角は常に\(\theta=90°\)であるため、\(sin\theta=1\)です。
したがって、①式は、

\(\displaystyle dH=\frac{Idl}{4\pi r^2}\)　　　………②

となります。

円形電線を横から見たとき、\(dl\)が作る磁界は\(dH\)、\(dH_x\)、\(dH_y\)と分解できます。
円形電線は、点Pの周りを１周するため、\(dH_x\)のベクトル和は\(0\)になります。
したがって、

\(dH_y=dH sinφ\)　　　………③

となります。③に②を代入すると、

\(\displaystyle dH_y=\frac{Idl}{4\pi r^2}・sinφ\)　　　………④

となります。④式を積分すると、

\(\displaystyle H_y=\int_0^{2\pi a}\frac{I}{4\pi r^2}・sinφ dl\)　　　………⑤

となります。
\(dl\)の位置が動くことによって変化する変数は、⑤式には存在しないので、

\(\displaystyle H_y=\frac{I}{4\pi r^2}・sinφ\int_0^{2\pi a} dl\)　　　………⑥

と、書き換える事ができます。積分の計算をすると、

\(\displaystyle H_y=\frac{I}{4\pi r^2}・sinφ・2\pi a\)　　　………⑦

となります。

\(\displaystyle sinφ=\frac{a}{r}\)　　　………⑧

なので、⑦に⑧を代入すると、

\(\displaystyle H_y=\frac{Ia^2}{2 r^3}\)　　　………⑨

となります。

\(r=\sqrt{a^2+y^2}\)　　　………⑩

なので、⑩を⑨に代入すると、

\(\displaystyle H_y=\frac{Ia^2}{2 (a^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\)　　　………⑪

以上より、任意の点Pにおける磁界の強さ

\(\displaystyle H_y=\frac{Ia^2}{2 (a^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\)

が求まりました。

点Oにおける磁界の強さは、\(y=0\)の時を考えれば良いので、

\(\displaystyle H_y=\frac{I}{2a}\)

となります。

外積について

二つのベクトル\(\vec{A}\)、\(\vec{B}\)が作る外積を\(\vec{C}\)とします。

\(\vec{C}\)の向き
\(\vec{A}\)・\(\vec{B}\)の二つと直行した方向です。
そして、\(\vec{A}\)から\(\vec{B}\)に向けて右ねじの法則で回したときに、親指が向く向きと同じです。

\(\vec{C}\)の大きさ
\(\vec{C}\)の大きさは、\(\vec{A}\)と\(\vec{B}\)の作る平行四辺形の面積と同じです。
つまり、
\(|C|=|A| |B| sinθ\)
です。大きさだけが欲しい場合は、スカラー表記にしてしまって
\(C=ABsinθ\)
と記載することが多いです。

　

　

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参考書

イラストがとても多く、視覚的に理解しやすいので、初学者に、お勧めなテキストです。