【電験三種：理論】令和６年度下期　問１５

（ａ）問題の解答の流れ
①Y-Δ変換をする
②相電流を求める
③線電流を求める

①Y-Δ変換をする
図１の三相平衡負荷を\(Z_Y\)とすると、
\(Z_Y=R+jωL=R+j2πfL=3+j2π×50×12.75×10^{-3}=3+j4\)

Y-Δ変換すると、抵抗とインダクタンスからなる三相平衡負荷\(Z_Δ\)は、
\(Z_Δ=3Z_Y=9+j12\)
\(|Z_Δ|=\sqrt{9^2+12^2}=15Ω\)

②相電流を求める
Δ結線の各相の相電流を\(I_p\)とすると、
\(\displaystyle I_p=\frac{V}{|Z|}=\frac{200}{15}=13.3A\)

③線電流を求める
線電流\(I\)は相電流\(I_p\)の\(\sqrt{3}\)倍の大きさなので、
\(\displaystyle I=\sqrt{3}I_p=23.1A\)

以上より、（ａ）問題は（２）23.1　が答えです。

（ｂ）問題の解答の流れ
①負荷条件を整理する
②三相平衡負荷\(Z_Δ\)とコンデンサC[F]の合成インピーダンスを求める
③力率１の条件からコンデンサの静電容量を求める

①負荷条件を整理する

静電容量\(C[F]\)のコンデンサを結線すると、\(Z_Δ\)と、静電容量\(C[F]\)の並列接続になります。
三相平衡負荷の\(Z_Δ\)は、(a)問題から\(Z_Δ=9+j12\) です。

静電容量\(C[F]\)のリアクタンス\(X_C[Ω]\)は、
\(\displaystyle X_C=\frac{1}{j2πfC}\)

②三相平衡負荷\(Z_Δ\)とコンデンサC[F]の合成インピーダンスを求める
（ａ）問題でY-Δ変換して求めた三相平衡負荷\(Z_Δ\)と、静電容量C[F]のコンデンサは、各相毎に並列接続されたインピーダンスとして扱えますので、その合成インピーダンス\(Z[Ω]\)は、

\(\displaystyle \frac{1}{Z}=\frac{1}{Z_Δ}+\frac{1}{X_C}\)

⇔　\(\displaystyle \frac{1}{Z}=\frac{1}{9+j12}+j2πfC\)

⇔　\(\displaystyle \frac{1}{Z}=\frac{9-j12}{225}+j314C\)

⇔　\(\displaystyle \frac{1}{Z}=\frac{9}{225}-j\frac{12}{225}+j314C\)

③力率１の条件からコンデンサの静電容量を求める
ここで、力率１という条件から、虚数項は０となるので、
\(\displaystyle -j\frac{12}{225}+j314C=0\)

⇔　\(\displaystyle C=\frac{12}{225×314}=1.7×10^{-4}\)

以上より、（ｂ）問題は（２）\(1.7×10^{-4}\)　が答えです。

Δ-Y変換の関係式導出

手順
①Δ結線の端子A-B間の合成抵抗\(Z_{AB}\)を求める　…（１）式
②Y結線の端子A-B間の合成抵抗\(Z_{AB}\)を求める　…（２）式
③(1)式=(2)式　から、\(Z_Δ=3Z_Y\)を導出する

①Δ結線の端子A-B間の合成抵抗\(Z_{AB}\)を求める　…（１）式

左図から、Δ結線の端子A-B間からみた合成インピーダンス\(Z_{AB}\)は、
\(\displaystyle \frac{1}{Z_{AB}}=\frac{1}{Z_Δ}+\frac{1}{2Z_Δ}\)

整理すると、
\(\displaystyle Z_{AB}=\frac{2}{3}Z_Δ\)　…(1)式

②Y結線の端子A-B間の合成抵抗\(Z_{AB}\)を求める　…（２）式

左図から、Y結線の端子A-B間からみた合成インピーダンス\(Z_{AB}\)は、
\(Z_{AB}=2Z_Y\)　…(2)式

③(1)式=(2)式　から、\(Z_Δ=3Z_Y\)を導出する
(1)式=(2)式
\(\displaystyle \frac{2}{3}Z_Δ=2Z_Y\)

⇔\(\displaystyle Z_Δ=3Z_Y\)

以上より、\(Z_Δ\)と\(Z_Y\)の関係を求めることが出来ました。

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