交流電力(2)関係式の導出（三角関数）

概要

交流回路の電力は、皮相電力$S[V・A]$、有効電力$P[W]$、無効電力$Q[Var]$の３種類があります。

このページでは、三角関数で表される瞬時電圧$v(t)$、瞬時電流$i(t)$、瞬時電力$p(t)$を示し、それぞれ有効電力$P[W]$、$Q[Var]$、$S[V・A]$を計算した結果、上記の数式が出る事を示していきます。

　

有効電力$P[W]$

有効電力$P$は電圧と電流の位相差角$θ$の実数部分$cosθ$
瞬時電圧$v(t)$の位相$θ_v$と、瞬時電流$i(t)$の位相$θ_i$の位相差角を$θ=θ_v-θ_i$としたとき、その位相差角の実数部分（$cosθ$）が有効電力$P[W]$となります。
$P=V_r・I_rcosθ=V_r・I_rcos(θ_v-θ_i)$

$V_r$、$I_r$は電圧・電流の実効値です。

(1)電力の瞬時値$p(t)$の導出
交流電源の電圧・電流の瞬時値を$v(t)$・$i(t)$とします。

$V_m$・$I_m$は電圧・電流の波高値。ωは角周波数。$θ_v$・$θ_i$は基準に対する電圧・電流の位相です。
このとき、瞬時電力$p(t)$は次のように展開できます。

$\begin{eqnarray} p(t)&=&v(t)・i(t) \\ &=&V_mI_mcos(ωt+θ_v)・cos(ωt+θ_i) 　…①\\ \\ &=&\frac{V_mI_m}{2} \{cos(2ωt+θ_v+θ_i)+cos(θ_v-θ_i) \} 　…②\\ \\ &=&\frac{V_m}{\sqrt{2}}・\frac{I_m}{\sqrt{2}} \{ cos(2ωt+θ_p)+cos(θ_v-θ_i) \} 　…③\\ \\ &=&V_rI_r \{cos(2ωt+θ_p)+cos(θ_v-θ_i) \} 　…④\\ &=&V_rI_r \{cos2ωt・cosθ_p-sin2ωt・sinθ_p+cos(θ_v-θ_i) \} …⑤\\ \end{eqnarray}$

(2)有効電力$P$の導出
有効電力$P$は、瞬時電力$p(t)$の１サイクルの平均です。
１サイクル迎えた時の時間を$T[s]$とします。

$\begin{eqnarray} P&=&\frac{1}{T}\int_0^T p(t)dt \\ \\ &=&\frac{1}{T}\int_0^T V_rI_r \{cos2ωt・cosθ_p-sin2ωt・sinθ_p+cos(θ_v-θ_i)\}\\ \\ &=&\frac{V_rI_r}{T} \left[ \frac{1}{2ω}sin2ωt・cosθ+\frac{1}{2ω}cos2ωt・sinθ+tcos(θ_v-θ_i) \right] ^{　T}_{　0}\\ \\ &=&\frac{V_rI_r}{T}Tcos(θ_v-θ_i) \\ \\ &=& V_rI_rcos(θ_v-θ_i) \\ &=& V_rI_rcosθ \\ \end{eqnarray}$

　

無効電力$Q[Var]$

無効電力$Q$は電圧と電流の位相差角$θ$の虚数部分$sinθ$
瞬時電圧$v(t)$の位相$θ_v$と、瞬時電流$i(t)$の位相$θ_i$の位相差角を$θ=θ_v-θ_i$としたとき、その位相差角の虚数部分（$sinθ$）が無効電力$Q[W]$となります。
$Q=V_r・I_rsinθ=V_r・I_rsin(θ_v-θ_i)$

$V_r$、$I_r$は電圧・電流の実効値です。

有効電力は、電圧も電流も両方とも$cosωt$で、同相成分の掛け算でした。
電圧が$cosωt$、電流が$sinωt$の直交位相成分の掛け算をして有効電力と同様に計算すると、無効電力が求まります。

(1)電圧・電流の直交位相成分の電力の瞬時値$q(t)$の導出

交流電源の電圧・電流の瞬時値を$v(t)$・$i(t)$とします。

瞬時電力$q(t)$を展開していきます。
$\begin{eqnarray} q(t)&=&v(t)・i(t) \\ &=&V_mI_mcos(ωt+θ_v)・sin(ωt+θ_i) \\ \\ &=&\frac{V_mI_m}{2} \{sin(2ωt+θ_v+θ_i)+sin(θ_v-θ_i) \} \\ \\ &=&V_rI_r \{ sin2ωtcosθ_p+cos2ωtsinθ+sin(θ_v-θ_i) \} \end{eqnarray}$
　※$θ_p=θ_v+θ_i$としています。

(2)無効電力$Q$の導出
無効電力$Q$は、瞬時電力$q(t)$の１サイクルの平均です。
１サイクル迎えた時の時間を$T[s]$とします。

$\begin{eqnarray} Q&=&\frac{1}{T}\int_0^T q(t)dt \\ \\ &=&\frac{1}{T}\int_0^T V_rI_r \{sin2ωt・cosθ_p-cos2ωt・sinθ_p+sin(θ_v-θ_i)\}\\ \\ &=&\frac{V_rI_r}{T} \left[ -\frac{1}{2ω}cos2ωt・cosθ+\frac{1}{2ω}sin2ωt・sinθ+tsin(θ_v-θ_i) \right] ^{　T}_{　0}\\ \\ &=&\frac{V_rI_r}{T}Tsin(θ_v-θ_i) \\ \\ &=& V_rI_rcos(θ_v-θ_i) \\ &=& V_rI_rcosθ \\ \end{eqnarray}$
　※$θ=θ_v-θ_i$としています。

　

皮相電力$S[V・A]$

　

まとめ

この３つの電力の関係と力率の関係式
・$S^2=P^2+Q^2$
・$P=VIcosθ$
・$Q=VIsinθ$
・$cosθ=\frac{P}{S}$
を、瞬時電圧、瞬時電流から導出しました。

三角関数と積分を使って電力を表す方法は、面倒くさいため、これらの関係が複素数で表すことが出来る事を利用して、複素数で計算する方法を次のページで示していきます。

　

関連記事（その他）

　　

参考書