ホール効果

電位が発生する原理の解析

磁界を加えられていないとき
左図のような直方体で、電子がキャリアのN型半導体について考えていきます。

磁界が加えられていないとき、電流$I[A]$が流れていても、A面・B面にはキャリアの偏りがないため、電位は発生しません。

流れている電流$I[A]$は、電子の電気素量$e[C]$、電子の密度$n$[個/$m^3$]、電子の速度$v[m/s]$、物質の厚さ$t[m]$、幅$d[m]$としたとき、次のように表されます。
$I=envtd$　…(1)

変形すると、
$\displaystyle v=\frac{I}{entd}$　…(2)

磁束密度$B[T]$の磁界を加える
磁束密度$B[T]$の磁界を加えると、フレミング左手の法則に従って、電子にローレンツ力$F_L[N]$が働いてB面に引き寄せます。
$F_L=evB$　…(3)

電位$V_H[V]$が発生する
キャリアの密度が偏ることによって、A面・B面間に電位$V_H$が発生します。

電界強度$E[V/m]$の電界が発生する
発生した電位は、A面・B面間に電界強度$E[V/m]$の一様な電界を発生させます。
一様な電界における電位$V_H$と電界$E$の関係は、物質の幅$d$を使うと、コンデンサと同じ関係式となります。
$V_H=Ed$　…(4)

電界$E$によって、クーロン力$F_C[N]$が働いてA面に引き寄せます。電子の電荷の大きさは電気素量$e[C]$なので、
$F_C=eE$　…(5)

ローレンツ力$F_L[N]$とクーロン力$F_C[N]$が均衡する
B面に引き寄せるローレンツ力$F_L$と、A面に引き寄せるクーロン力$F_C$が均衡します。

(3)式＝(5)式となるので、
$evB=eE$
⇔$vB=E$　…(6)

(6)式を(4)式に代入すると、電位$V$が求まります。
$V_H=Ed=vBd$　…(7)

(7)式に(2)式を代入して電子の速度$v$を消すと、
$\displaystyle V_H=vBd=\frac{I}{entd} Bd=\frac{IB}{ent}$　…(8)

以上より、ホール効果で得られる電位$V_H$が求まりました。

(8)式の$e$、$n$、$t$は、固定値なので、一定の磁束密度$B$を与えるようにした場合、
電位$V_H$と電流$I$は比例関係となります。（$V_H∝I$）
このことから、電流値そのものを測定することも可能です。

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