【電験三種：理論】令和１年度　問１０

(a)過渡解析をする
①RC回路の$v(t)$について微分方程式を立てる
回路中を流れる電流を$i[A]$とします。
電流の定義式から、次の電流$i$と電荷$q$の関係式が出せます。
$\displaystyle i=\frac{dq}{dt}$

コンデンサの電荷、静電容量、電圧の関係式から
$q=cv$

電流と電荷の関係式に代入すると、
$\displaystyle i=C \frac{dv}{dt}$

回路の方程式は、次式となります。
$0=Ri+v$
⇔　$\displaystyle 0=CR\frac{dv}{dt}+v$

②過渡状態を解析して時定数を導出する
コンデンサ電圧の過渡解を$v_t$とします。
$v_t=ke^{-st}$
としたとき、$v_t$を微分すると、
$\displaystyle \frac{dv_t}{dt}=-ske^{-st}$

過渡解を求める方程式は、
$0=ke^{-st}-CRske^{-st}=(1-CRs)ke^{-st}$

上式が成り立つ条件は、
$\displaystyle s=\frac{1}{CR}$
です。

時定数$τ$は、過渡解の式中の$e^{-st}$が$e^{-1}$となるときの時間であるため、
$\displaystyle τ=\frac{1}{s}=CR=100×10^{-6}・10^3=0.1[s]$

したがって、時定数$τ=0.1s$と求まりました。

(b)消費エネルギーを計算する
③スイッチを閉じる前の静電エネルギーを求める
スイッチを閉じる前のコンデンサに蓄えられている静電エネルギー$W_1[J]$は、
$\displaystyle W_1=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}×100×10^{-6}×(10^3)^2=50J$

④スイッチを閉じた後の静電エネルギーを求める
スイッチを閉じて十分時間が経った後は、コンデンサの電圧$v=0V$となるため、コンデンサに蓄えられている静電エネルギー$W_2[J]$は、
$\displaystyle W_2=0J$

⑤スイッチを閉じる前後の静電エネルギーの差から、抵抗で消費されたエネルギーを求める
スイッチを閉じた後、コンデンサに蓄えられていた静電エネルギーは、全て抵抗で消費されます。
そのため、スイッチを閉じる前後の静電エネルギーの差を求めることで、抵抗で消費されるエネルギー$W$を求めることができます。
$W=W_1-W_2=50-0=50J$

イラストがとても多く、視覚的に理解しやすいので、初学者に、お勧めなテキストです。