電磁力・ローレンツ力

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ローレンツ力・電磁力の違い
ローレンツ力
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$\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}×\vec{B})$

$\vec{F}=q\vec{v}×\vec{B}$

$F=qvBsinθ[N]$
フレミング左手の法則の親指の向き

$V=vBlsinθ[V]$
フレミング右手の法則の中指の向き

$\vec{F}=\vec{I}×\vec{B}l$

$F=IBlsinθ[N]$
フレミング左手の法則の親指の向き

ローレンツ力・電磁力の違い

ローレンツ力、電磁力について触れる前に、この２つの力について違いを説明します。

ローレンツ力は、自由電子等の荷電粒子が電磁界から受ける力です。
電磁力は、導体を流れる電流が磁界から受ける力です。
自由電子の移動が電流であることから、各電子に働くローレンツ力が集まった力が電磁力です。
つまり、ローレンツ力はミクロな視点で見た時の力であり、電磁力はマクロな視点で見た時の力です。

例えば、電磁界中で導線に電流が流れている時、導線中を流れる電子一つ一つに働く力はローレンツ力、電流によって導線に働く力は電磁力です。
　

ローレンツ力

$\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}×\vec{B})$

$\vec{F}=q\vec{v}×\vec{B}$

フレミング左手の法則の親指の向きに、 $F=qvBsinθ[N]$ の大きさのローレンツ力が発生します。

ローレンツ力のベクトル式について

電磁界中で、荷電粒子が受ける電磁気的な力をローレンツ力と呼び、ローレンツ力のベクトル式は、 $\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}×\vec{B})$ で表されます。

ローレンツ力のベクトル式の第１項 $q\vec{E}$ はクーロン力であり、荷電粒子が電界から受ける力です。第２項 $q\vec{v}×\vec{B}$ は荷電粒子が磁界から受ける力です

電界強度 $\vec{E}$ の電界と、磁束密度 $\vec{B}$ の磁界を合わせた力場を電磁界と呼びます。
電磁界ではなく、磁界のみ与えられている場合のローレンツ力は第２項のみを使います。
　

ローレンツ力の大きさ

電験三種の問題でローレンツ力の問題を解くときは、ベクトル $\vec{F}$ のまま計算するのは難しいので、ローレンツ力の向きと、大きさを別々に分解して計算していきます。

磁束密度 $\vec{B}[T]$ の磁界中を、 $q[C]$ の電荷が速度 $\vec{v}[m/s]$ で動くと、ローレンツ力 $\vec{F}[N]$ を受けます。

これを、ローレンツ力を式に表すと、
$\vec{F}=q\vec{v}×\vec{B}$
です。

$\vec{v}×\vec{B}$ は、電荷の移動速度 $v$ と磁束密度 $B$ の外積を表しますので、 $\vec{v}×\vec{B}$ の大きさは、 $vBsinθ$ です。

従って、ローレンツ力 $F$ の大きさは、
$F=qvBsinθ$
となります。

　ローレンツ力の向き（フレミング左手の法則）

左手を左図のように構えた時
親　　指：力（ $F[N]$ ）の向き
人差し指：磁界（ $B[T]$ ）の向き
中　　指：電流（ $I[A]$ ）の向き

ローレンツ力による起電力

$V=vBlsinθ[V]$

磁束密度 $\vec{B}[T]$ の磁界中で、導体を速度 $\vec{v}[m/s]$ で移動させたときに、導体中の自由電子にローレンツ力 $\vec{F}[N]$ が働くことで起電力 $V[V]$ が発生します。

ローレンツ力による起電力の原理

磁束密度 $B[T]$ の磁界中に置かれた導体を
速度 $v[m/s]$ で動かすと、導体内に存在する自由電子も一緒に速度 $v[m/s]$ で動きますので、 $v$ の方向に、電流が流れていると考えることができます。

磁界中を自由電子が移動すると、ローレンツ力 $F_L[N]$ が発生します。

ローレンツ力の大きさは、導体の移動の向きと、磁界の向きのなす角をθとしたとき、
$F_L=-evBsinθ$
です。

電子は負電荷なので、ローレンツ力の発生する向きは、フレミング左手の法則の中指を速度 $v$ の向きにしたときに親指が向く向きと逆方向です。

③電子の偏りによる帯電
電子が移動して減った側は、電子が不足するので正(+)に帯電します。電子が集まった側は、負(－)に帯電します。

正に帯電した＋側と、負に帯電した－側の間に、電界の強さ $E[V/m]$ の静電界が発生します。

静電界が作り出すクーロン力 $F_C$ と、磁界内の移動によって発生するローレンツ力 $F_L$ が釣り合うまで、電子は－側に移動します。

クーロン力の大きさは、 $F_C=-eE$ 　…①
ローレンツ力の大きさは、 $F_L=-evBsinθ$ 　…②

ですので、①＝②より、
$F_C=F_L$
⇔ $-eE=-evBsinθ$
⇔ $E=vBsinθ$ 　…③

これで、電界の強さ $E[V/m]$ が求まりました。
平行平板コンデンサのように考えると、電位 $V[V]$ と電界の強さ $E$ の関係は、
$V=Ed$ 　⇔　 $\displaystyle E=\frac{V}{d}$ 　…④
です。

$d[m]$ は、ここでは導体の長さ $l[m]$ であるので、 $d=l$ とします。

③式に④式を代入すると、
$\frac{V}{l}=vBsinθ$
⇔ $V=vBlsinθ$

起電力 $V[V]$ の向きは、左図の通りとなります。

　ローレンツ力による起電力の向き（フレミング右手の法則）

右手を左図のように構えた時
親　　指：移動（ $v[m/s]$ ）の向き
人差し指：磁界（ $B[T]$ ）の向き
中　　指：起電力（ $V[V]$ ）の向き

電磁力

$\vec{F}=\vec{I}×\vec{B}l$

フレミング左手の法則の親指の向きに、 $F=IBlsinθ[N]$ の大きさの電磁力が発生します。

電磁界中で電流が受ける電磁気的な力を電磁力と呼びます。
電磁力 $\vec{F}$ 、電流 $\vec{I}$ 、磁束密度 $\vec{B}$ は、それぞれ方向と大きさを持つベクトルであるため、次式で表されます。

電磁力の大きさ

電磁力の式について解説します。
電磁力 $\vec{F}[N]$ は、電流 $\vec{I}[A]$ と、磁束密度 $\vec{B}[T]$ の外積で表されます。これを式で表すと、

となります。ベクトルの式に出てくる $×$ の記号は、外積を表します。

電磁力の向きは、電流の向きから磁界の向きに右ねじの法則で回したときに、親指が向く向きです。
$\vec{F}$ の大きさは、 $\vec{I}$ と $\vec{B}$ の作る平行四辺形の面積と同じです。つまり、
$|F|=|I| |B| sinθ$
です。導体の長さを $l[m]$ とすると
$F=IBlsinθ$
と求まります。

　電磁力の向き

ローレンツ力と同じくフレミング左手の法則で電磁力の向きが示されます。
左手を左図のように構えたとき、次のように向きを示します。
親　　指：力（ $F[N]$ ）の向き
人差し指：磁界（ $B[T]$ ）の向き
中　　指：電流（ $I[A]$ ）の向き

ローレンツ力から電磁力の導出

電流は、負電荷である電子 $-e[C]$ が流れているので、１個の電子に発生するローレンツ力は、
$f=-evBsinθ[N]$ 　…①
電子は負電荷なので、電子にかかるローレンツ力の向きは、フレミング左手の法則の親指の向きと逆方向です。

導線の中に存在する自由電子の個数 $N$ [個]は、
・自由電子数の密度 $n[個/m^3]$
・断面積 $S[m^2]$
・長さ $l[m]$
としたとき、次式で表されます。
$N=nSl[個]$ 　…②

導線に存在する $N$ [個]の電子に発生するローレンツ力の総和は
$F=f[N]・N[個]$ 　…③
です。
③式に、①・②式を代入すると、次式となります。
$F=-evBsinθ・nSl=-envSBlsinθ$ 　…④

1秒間に1[C]の電荷が流れるとき、1[A]の電流となります。導線に、次の条件の電子が流れているとき、
・電荷量 $-e[C]$
・電子の密度 $n[個/m^3]$
・電子の速度 $v[m/s]$
・導線の面積 $S[m^2]$
電流の大きさは、 $I=-envS[A]$ 　…⑤
となります。

⑤式を④式に代入すると、
$F=IBlsinθ[N]$
と、求まりました。

過去問

難易度　★★☆☆☆

電験三種　令和４年度上期　問４	ローレンツ力による起電力の計算
電験三種　令和５年度上期　問４	磁界と電磁力の論説
電験三種　令和５年度下期　問４	二つの導体に流れる電流の電磁力の計算

難易度　★★★☆☆

電験三種　平成２１年度　問１２	電界中・磁界中の電子の動きの論説
電験三種　令和２年度　問３	ループに及ぼす電磁力の計算
電験三種　令和４年度下期　問４	３つの導線が作る電磁力の計算

難易度　★★★★☆

　　電験三種　令和４年度上期　問３

環状鉄心の結合係数の計算

参考書

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本ブログの管理人は、電験３種過去問マスタを使って電験３種を取りました。
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ある程度学んで基礎がある人に向いています。

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ローレンツ力による起電力

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偶力について

モーメントについて

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