電位V

電位と電界の関係式は、単位電荷\(q=1[C]\)を、電界\(E[V/m]\)によって生じる静電気力\(F=qE=E[N]\)に逆らって、「基点」から「対象点」まで移動させた時の仕事が位置エネルギーとして蓄えられたことを表します。
※基点が定義されていないとき、つまり、単純に電位\(V[V]\)を求めるようなときは、
　無限遠点：\(\infty\) を基点とします。

電位の式について導出します。

点電荷の作る電界の電界強度\(E[V/m]\)は、ガウスの法則から、
\(\displaystyle E=\frac{Q}{4πε_0r^2}[V/m]\)　…①

この電界中で、単位電荷\(1[C]\)を基点から対象点まで移動させたときの電位を求めます。
このとき、
　・基　点：無限遠点（∞）
　・対象点：距離\(r[m]\)
とします。

電位\(V[V]\)と電界\(E[V/m]\)の関係式に①式を代入すると、
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
V&=&-\int_{基点}^{対象点}E dr = -\int_{∞}^{r}\frac{Q}{4πε_0r^2} dr = \frac{Q}{4πε_0}\left[ \frac{1}{r} \right]_∞^r \\
&=& \frac{Q}{4πε_0}\left( \frac{1}{r}-\frac{1}{∞}\right) = \frac{Q}{4πε_0r}
\end{eqnarray}\)
以上、\(\displaystyle V=\frac{Q}{4πε_0r}\)が導出できました。

補足：電位差の導出
基点を無限遠点とせず、
・基　点：\(r_b[m]\)のとき、\(V_b[V]\)
・対象点：\(r_a[m]\)のとき、\(V_a[V]\)
とした場合、電位差\(V_{ab}=V_a-V_b\)になることついて導出します。

\(\displaystyle \begin{eqnarray}
V&=&-\int_{基点}^{対象点}E dr = -\int_{r_b}^{r_a} \frac{Q}{4πε_0r^2} dr = \frac{Q}{4πε_0}\left[ \frac{1}{r} \right]_{r_b}^{r_a} \\
&=& \frac{Q}{4πε_0}\left( \frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right) = \frac{Q}{4πε_0r_a}-\frac{Q}{4πε_0r_b} = V_a-V_b
\end{eqnarray}\)

以上より、電位差\(V_{ab}=V_a-V_b\)が導出できました。

電位の式について導出します。

線電荷の作る電界の電界強度\(E[V/m]\)は、ガウスの法則から、
\(\displaystyle E=\frac{q}{2πε_0r}[V/m]\)　…②

この電界中で、単位電荷\(1[C]\)を基点から対象点まで移動させたときの電位を求めます。
このとき、
　・基　点：\(b[m]\)（外部円筒導体の半径）
　・対象点：距離\(r[m]\)
とします。
※同軸円筒導体の場合、基点を無限遠点に取ると、計算が出来ないため、外部円筒導体の半径と定めています。

電位\(V[V]\)と電界\(E[V/m]\)の関係式に②式を代入すると、
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
V&=&-\int_{基点}^{対象点}E dr = -\int_{b}^{r}\frac{q}{2πε_0r} dr = \frac{q}{2πε_0}\left[ ln r \right]_r^b \\
&=& \frac{q}{2πε_0}(ln b-ln r) = \frac{q}{2πε_0}ln \frac{b}{r}
\end{eqnarray}\)
以上、\(\displaystyle V=\frac{q}{2πε_0}ln \frac{b}{r}\)が導出できました。

電位の式について導出します。

線電荷の作る電界の電界強度\(E[V/m]\)は、ガウスの法則から、
\(\displaystyle E=\frac{Q}{ε_0S}[V/m]\)　…③
　※Sは極板面積です。

この電界中で、単位電荷\(1[C]\)を基点から対象点まで移動させたときの電位を求めます。
このとき、コンデンサの極板間距離\(d[m]\)なので、
　・基　点：\(d[m]\)
　・対象点：\(0[m]\)
とします。

電位\(V[V]\)と電界\(E[V/m]\)の関係式に②式を代入すると、
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
V&=&-\int_{基点}^{対象点}E dr = -\int_{d}^{0}\frac{q}{ε_0S} dr = \frac{q}{ε_0S}\left[ r \right]_0^d \\
&=& \frac{q}{ε_0S}(d-0) = \frac{q}{ε_0S}d=Ed
\end{eqnarray}\)
以上、\(\displaystyle V=Ed\)が導出できました。

単位が取れる電磁気学シリーズは、電磁気学に関して根本的に理解を深めたい人に最もお勧めな参考書です。電磁気学で詰まりやすい大学生のバイブル的な一冊で、体系的な理解をすることができます。
電磁気ノートは、電験三種に必要な内容から、電験一種の内容まで全て入っています。
全て読破しようとすると、学習すべき範囲に対して過剰になるので、過去問のわからない箇所があったら、単位が取れる電磁気ノートで調べるという使用方法がお勧め。