【電験三種：理論】令和５年度下期　問４

難易度

電磁力に関する基本的な問題です。
アンペアの法則と、電磁力の計算式を理解していれば解ける内容ですので、確実に回答したい問題です。

問題

図のように、透磁率\(μ_0[H/m]\)の真空中に、無限に長い直線状導体Aと１辺\(a[m]\)の正方形のループ状導体Bが距離\(d[m]\)を隔てて置かれている。
AとBはｘｙ平面上にあり、Aはｚ軸と平行、Ｂの各辺はｘ軸又はｚ軸と平行である。
Ａ、Ｂには直流電流\(I_A[A]\)、\(I_B[A]\)が、それぞれ図示する方向に流れている。このとき、Ｂに加わる電磁力として、正しいものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。
なお、ｘｙｚ座標の定義は、破線の枠内の図で示したとおりとする。

（１）０Ｎつまり電磁力は生じない

（２）\(\displaystyle \frac{μ_0I_AI_Ba^2}{2πd(a+d)}[N]\)の＋ｘ方向の力

（３）\(\displaystyle \frac{μ_0I_AI_Ba^2}{2πd(a+d)}[N]\)の－ｘ方向の力

（４）\(\displaystyle \frac{μ_0I_AI_Ba(a+2d)}{2πd(a+d)}[N]\)の＋ｘ方向の力

（５）\(\displaystyle \frac{μ_0I_AI_Ba(a+2d)}{2πd(a+d)}[N]\)の－ｘ方向の力

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答え

(４)

要点整理

電流が作る磁界について

電流が作る磁界を導き出す方法は、２つありますが本問ではアンペアの法則に関して言及します。
ビオ・サバールの法則は長くなるので、専用の解説ページを作りました。そちらを御参照ください。
→ビオ・サバールの法則

アンペアの法則は、電流が作る磁界中で、磁界の強さが等しい所をたどって１周したときの磁路の長さ\(l=2\pi r[m]\)と、磁界の強さ\(H[A/m]\)の積が、電流\(I[A]\)に等しいという法則です。
式に示すと、
\( \displaystyle I=\oint_C Hdl\) \(=Hl=H\times 2\pi r \)
となります。変形すると、
\(\displaystyle H=\frac{I}{2\pi r}[A/m]\)
となります。

磁界と磁束密度について

磁界の強さ\(H[A/m]\)と、磁束密度\(B[T]\)の間には、
透磁率を\(μ\)、比透磁率を\(μ_r\)、真空の透磁率を\(μ_0\)としたとき、

\(B=μH=μ_rμ_0H\)

の関係があります。

電磁力について

電磁力は、電流と磁界の相互作用によって発生した力です。
電磁力\(\vec{F}[N]\)は、電流\(\vec{I}[A]\)と、磁束密度\(\vec{B}[T]\)の外積で表されます。
これを式で表すと、
\(\vec{F}=\vec{I}\times\vec{B}\)
となります。

	電磁力の向きは、電流の向きから、磁界の向きに右ねじの法則で回したときに、親指が向く向きです。 \(\vec{F}\)の大きさは、\(\vec{I}\)と\(\vec{B}\)の作る平行四辺形の面積と同じです。 つまり、 \(|F|=|I| |B| sinθ\) です。 導体の長さを\(l[m]\)とすると \(F=IBlsinθ\) と求まります。
	上記で示した電流・磁界・力の向きを簡単に表現すると、フレミング左手の法則で示されます。

要点整理の適用

直線状導体Aが図のように磁界\(H_1\)と\(H_2\)を作っているとします。
この時、ループ状導体Bには画面奥から手前に向かう向きに磁界が通ります。
ループ状導体Bの上辺と、下辺は同じ大きさの電磁力が発生して向きが逆で打ち消しあうため、省略します。

ループ状導体Bの左辺に発生する電磁力を計算します。

直線状導体Aが作る磁界\(H_1\)は、導体A－導体Bの左辺間の距離は\(d[m]\)なので、

\(\displaystyle H_1=\frac{I_A}{2\pi d}\)

磁界\(H\)と磁束密度\(B\)の関係は、\(B=μ_0H\)なので、

\(\displaystyle B_1=\frac{μ_0 I_A}{2\pi d}\)

導体Bに流れている電流が\(I_B\)、辺の長さが\(a[m]\)なので、発生する電磁力を\(F_1\)とすると、左辺に発生する電磁力は、

\(\displaystyle F_1=I_B B_1 a=\frac{μ_0 I_A I_B a}{2\pi d}\)　　　………①

と求まりました。

次に、ループ状導体Bの右辺に発生する電磁力を計算します。
直線状導体Aが作る磁界\(H_2\)は、導体A－導体Bの右辺間の距離は\(d+a[m]\)なので、

\(\displaystyle H_2=\frac{I_A}{2\pi (d+a)}\)

となるので、磁束密度は、
\(\displaystyle B_2=\frac{μ_0 I_A}{2\pi (d+a)}\)

導体Bに流れている電流が\(I_B\)、辺の長さが\(a[m]\)なので、発生する電磁力を\(F_2\)とすると、

\(\displaystyle F_2=I_B B_2 a=\frac{μ_0 I_A I_B a}{2\pi (d+a)}\)　　　………②

\(F_1\)と\(F_2\)は逆向きなので、その合成の電磁力\(F\)は、

\(\displaystyle F=F_1-F_2=\frac{μ_0 I_A I_B a}{2\pi d}-\frac{μ_0 I_A I_B a}{2\pi (d+a)}\)
⇔\(\displaystyle F=\frac{μ_0 I_A I_B a^2}{2\pi d(d+a)}\)

と求まります。
また、力の大きさは\(F_1>F_2\)なので、+ｘ方向の力となります。

\(\displaystyle \frac{μ_0I_AI_Ba(a+2d)}{2πd(a+d)}[N]\)の＋ｘ方向の力である（４）が答えとなります。

出典元

令和５年度第三種電気主任技術者試験　理論科目Ａ問題下期問４

参考書