Y-Δ変換

Δ-Y変換

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01. Δ結線の端子B-C間を短絡し、短絡線の端子Dを置く。
02. Δ結線の端子A-D間の合成インピーダンス$Z_{AD}$を求める　…（１）式

図から、端子A-D間の合成インピーダンス$Z_{AD}$を求めます。
$\displaystyle \frac{1}{Z_{AD}}=\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_3}$　…(1)式

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03. Δ結線の端子A-C間を短絡し、短絡線の端子Eを置く。
04. Δ結線の端子B-E間の合成インピーダンス$Z_{BE}$を求める　…（２）式

図から、端子B-E間の合成インピーダンス$Z_{BE}$を求めます。
$\displaystyle \frac{1}{Z_{BE}}=\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}$　…(2)式

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05. Δ結線の端子A-B間を短絡し、短絡線の端子Fを置く。
06. Δ結線の端子C-F間の合成インピーダンス$Z_{CF}$を求める　…（３）式

図から、端子C-F間の合成インピーダンス$Z_{CF}$を求めます。
$\displaystyle \frac{1}{Z_{CF}}=\frac{1}{Z_2}+\frac{1}{Z_3}$　…(3)式

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07. Y結線の端子B-C間を短絡し、短絡線の端子Dを置く。
08. Y結線の端子A-D間の合成インピーダンス$Z_{AD}$を求める　…（４）式

左図から、端子A-D間の合成インピーダンス$Z_{AD}$を求めます。

$Z_{AD}=Z_a+Z_{bc}$

⇔$\displaystyle Z_{AD}=Z_a+\frac{1}{\frac{1}{Z_b}+\frac{1}{Z_c}}$

⇔$\displaystyle Z_{AD}=\frac{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}{Z_b+Z_c}$　

⇔$\displaystyle \frac{1}{Z_{AD}}=\frac{Z_b+Z_c}{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}$　…(4)式

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09. Δ結線の端子A-C間を短絡し、短絡線の端子Eを置く。
10. Δ結線の端子B-E間の合成インピーダンス$Z_{BE}$を求める　…（５）式

左図から、端子B-E間の合成インピーダンス$Z_{BE}$を求めます。

$Z_{BE}=Z_b+Z_{ca}$

⇔$\displaystyle Z_{BE}=Z_b+\frac{1}{\frac{1}{Z_c}+\frac{1}{Z_a}}$

⇔$\displaystyle Z_{BE}=\frac{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}{Z_c+Z_a}$　

⇔$\displaystyle \frac{1}{Z_{BE}}=\frac{Z_c+Z_a}{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}$　…(5)式

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11. Δ結線の端子A-B間を短絡し、短絡線の端子Fを置く。
12. Δ結線の端子C-F間の合成インピーダンス$Z_{CF}$を求める　…（６）式

左図から、端子C-F間の合成インピーダンス$Z_{CF}$を求めます。

$Z_{CF}=Z_c+Z_{ab}$

⇔$\displaystyle Z_{CF}=Z_c+\frac{1}{\frac{1}{Z_a}+\frac{1}{Z_b}}$

⇔$\displaystyle Z_{CF}=\frac{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}{Z_a+Z_b}$　

⇔$\displaystyle \frac{1}{Z_{CF}}=\frac{Z_a+Z_b}{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}$　…(6)式

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13. (１)式＝(４)式　…（７）式
Δ結線の(1)式、Y結線の(4)式は共に$\frac{1}{Z_{AD}}$の式なので、(1)式=(4)式として式をつなげます。
$\displaystyle \frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_3}=\frac{Z_b+Z_c}{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}$　…(7)式

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14. (２)式＝(５)式　…（８）式
Δ結線の(2)式、Y結線の(5)式は共に$\frac{1}{Z_{BE}}$の式なので、(2)式=(5)式として式をつなげます。
$\displaystyle \frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}=\frac{Z_c+Z_a}{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}$　…(8)式

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15. (３)式＝(６)式　…（９）式
Δ結線の(3)式、Y結線の(6)式は共に$\frac{1}{Z_{CF}}$の式なので、(3)式=(6)式として式をつなげます。
$\displaystyle \frac{1}{Z_2}+\frac{1}{Z_3}=\frac{Z_a+Z_b}{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}$　…(9)式

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16. (７)式＋(８)式＋(９)式を求める　…（１０）式
(7)式+(8)式+(9)式を求めます。
$\displaystyle 2 \left( \frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}+\frac{1}{Z_3} \right)=\frac{2(Z_a+Z_b+Z_c)}{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}$

⇔　$\displaystyle \frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}+\frac{1}{Z_3}=\frac{Z_a+Z_b+Z_c}{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}$　…(10)式

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17. (10)式－(９)式　から、Δ結線のインピーダンス$Z_1$を求める
$\displaystyle \frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}+\frac{1}{Z_3}-\left( \frac{1}{Z_2}+\frac{1}{Z_3} \right) =\frac{Z_a+Z_b+Z_c-(Z_a+Z_b)}{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}$

⇔$\displaystyle \frac{1}{Z_1}=\frac{Z_c}{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}$

⇔$\displaystyle Z_1=\frac{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}{Z_c}$

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18. (10)式－(７)式　から、Δ結線のインピーダンス$Z_2$を求める
$\displaystyle \frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}+\frac{1}{Z_3}-\left( \frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_3} \right) =\frac{Z_a+Z_b+Z_c-(Z_b+Z_c)}{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}$

⇔$\displaystyle \frac{1}{Z_2}=\frac{Z_a}{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}$

⇔$\displaystyle Z_2=\frac{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}{Z_a}$

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19. (10)式－(８)式　から、Δ結線のインピーダンス$Z_3$を求める
$\displaystyle \frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}+\frac{1}{Z_3}-\left( \frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2} \right) =\frac{Z_a+Z_b+Z_c-(Z_a+Z_c)}{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}$

⇔$\displaystyle \frac{1}{Z_3}=\frac{Z_b}{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}$

⇔$\displaystyle Z_3=\frac{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}{Z_b}$

以上より、Y結線のインピーダンス$Z_a,Z_b,Z_c$と、Δ結線のインピーダンス$Z_1,Z_2,Z_3$の関係を示すことが出来ました。

Δ-Y変換の関係式導出手順
①Δ結線の端子A-B間の合成抵抗$Z_{AB}$を求める　…（１）式
②Y結線の端子A-B間の合成抵抗$Z_{AB}$を求める　…（２）式
③(1)式=(2)式　から、$Z_Δ=3Z_Y$を導出する

①Δ結線の端子A-B間の合成抵抗$Z_{AB}$を求める　…（１）式

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②Y結線の端子A-B間の合成抵抗$Z_{AB}$を求める　…（２）式

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③(1)式=(2)式　から、$Z_Δ=3Z_Y$を導出する
(1)式=(2)式
$\displaystyle \frac{2}{3}Z_Δ=2Z_Y$

⇔$\displaystyle Z_Δ=3Z_Y$

以上より、$Z_Δ$と$Z_Y$の関係を求めることが出来ました。

　

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