電位とは
電位とポテンシャルエネルギー
電位の意味
電界中で、単位電荷が持つ静電気力による位置エネルギー(ポテンシャルエネルギー)です。
単位電荷とは、q=1[C]の電荷のことです。
電位V[V]とポテンシャルエネルギーW[J]の関係
上記の電位の意味から、電位とポテンシャルエネルギーの関係を式にすると、
W=qVです。
電位Vの単位は、実用的には[V]を使用しますが、上式から
[V]=[J/C]です。
重力による位置エネルギー・静電気力による位置エネルギー・電位を比較
静電気力F[N]に逆らって電荷を移動させたときのエネルギーは、ポテンシャルエネルギーと呼びます。ポテンシャルエネルギーは、日本語にすると位置エネルギーです。
位置エネルギーというと、高校力学で学ぶ重力に逆らって物を持ち上げたときに、物に蓄えられる位置エネルギーが浮かぶと思います。
静電気力の位置エネルギー(ポテンシャルエネルギー)を、重力による位置エネルギーと比較すると同じような存在であることがわかります。
比較するために、重力・静電気力の位置エネルギーと電位を並べたイメージは次のようになります。なお、図の電界は、コンデンサの電界のように、位置によって変動しない一様な電界とします。

上図を比較すると、次のように対応していることがわかります。
・質量m[kg] ⇔ 電荷量q[C]
・重力加速度g[m/s^2] ⇔ 電界強度E[V/m]
・高さh[m] ⇔ 距離d[m]
電位と電界
電位と電界の関係式
V=-\int_{基点}^{対象点}E dr ⇔ \displaystyle E=-\frac{dV}{dr}
電界Eは、電位Vを距離rで微分した形で表されます。そのことから、電界は電位の傾きであることがわかります。

電位と電界の関係式は、単位電荷q=1[C]を、電界E[V/m]によって生じる静電気力F=qE=E[N]に逆らって、「基点」から「対象点」まで移動させた時の仕事が位置エネルギーとして蓄えられたことを表します。
※基点が定義されていないとき、つまり、単純に電位V[V]を求めるようなときは、
無限遠点:\infty を基点とします。
電界の式は、主に3パターンの式があります。
そのため、電界の式を積分して導出される電位の式も3パターン存在しますので、それぞれについて示していきます。
①点電荷が作る電界(距離の二乗r^2に反比例する電界)
②線電荷が作る電界(距離rに反比例する電界)
③コンデンサが作る電界(一様な電界)
点電荷の電位
点電荷Q[C]が作り出す電界中の電位は、次式で表すことができます。
\displaystyle V=\frac{Q}{4πε_0r}
電位の式について導出します。

点電荷の作る電界の電界強度E[V/m]は、ガウスの法則から、
\displaystyle E=\frac{Q}{4πε_0r^2}[V/m] …①
この電界中で、単位電荷1[C]を基点から対象点まで移動させたときの電位を求めます。
このとき、
・基 点:無限遠点(∞)
・対象点:距離r[m]
とします。
電位V[V]と電界E[V/m]の関係式に①式を代入すると、
\displaystyle \begin{eqnarray} V&=&-\int_{基点}^{対象点}E dr = -\int_{∞}^{r}\frac{Q}{4πε_0r^2} dr = \frac{Q}{4πε_0}\left[ \frac{1}{r} \right]_∞^r \\ &=& \frac{Q}{4πε_0}\left( \frac{1}{r}-\frac{1}{∞}\right) = \frac{Q}{4πε_0r} \end{eqnarray}
以上、\displaystyle V=\frac{Q}{4πε_0r}が導出できました。
補足:電位差の導出
基点を無限遠点とせず、
・基 点:r_b[m]のとき、V_b[V]
・対象点:r_a[m]のとき、V_a[V]
とした場合、電位差V_{ab}=V_a-V_bになることついて導出します。

\displaystyle \begin{eqnarray} V&=&-\int_{基点}^{対象点}E dr = -\int_{r_b}^{r_a} \frac{Q}{4πε_0r^2} dr = \frac{Q}{4πε_0}\left[ \frac{1}{r} \right]_{r_b}^{r_a} \\ &=& \frac{Q}{4πε_0}\left( \frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right) = \frac{Q}{4πε_0r_a}-\frac{Q}{4πε_0r_b} = V_a-V_b \end{eqnarray}
以上より、電位差V_{ab}=V_a-V_bが導出できました。
線電荷(同軸円導体)の電位
ケーブルのような1m当たりの線電荷q[C/m]が作り出す電位は、次式で表すことができます。
\displaystyle V=\frac{Q}{2πε_0}ln\frac{b}{r}
※1:bは、外部円筒導体の半径の長さであり、固定値です。
※2:b、rの長さは、共に内部導体の中心点からの長さとします。
※3:内部導体表面に電荷が集まるため、内部導体の電位は、V=0[V]です。
電験では、同軸円導体の電位分布を求める問題は少ないです。
しかし、同軸円導体の式(V=\frac{Q}{2πε_0}ln\frac{b}{r})から、Q=CVの関係を使用して、静電容量を求めるような問題は時々出題されます。
電位の式について導出します。

線電荷の作る電界の電界強度E[V/m]は、ガウスの法則から、
\displaystyle E=\frac{q}{2πε_0r}[V/m] …②
この電界中で、単位電荷1[C]を基点から対象点まで移動させたときの電位を求めます。
このとき、
・基 点:b[m](外部円筒導体の半径)
・対象点:距離r[m]
とします。
※同軸円筒導体の場合、基点を無限遠点に取ると、計算が出来ないため、外部円筒導体の半径と定めています。
電位V[V]と電界E[V/m]の関係式に②式を代入すると、
\displaystyle \begin{eqnarray} V&=&-\int_{基点}^{対象点}E dr = -\int_{b}^{r}\frac{q}{2πε_0r} dr = \frac{q}{2πε_0}\left[ ln r \right]_r^b \\ &=& \frac{q}{2πε_0}(ln b-ln r) = \frac{q}{2πε_0}ln \frac{b}{r} \end{eqnarray}
以上、\displaystyle V=\frac{q}{2πε_0}ln \frac{b}{r}が導出できました。
コンデンサの電位
平行平板コンデンサの一様な電界E[V/m]の場における電位V[V]は、極板間距離d[m]を使用し、次式で表されます。
V=Ed
電位の式について導出します。

線電荷の作る電界の電界強度E[V/m]は、ガウスの法則から、
\displaystyle E=\frac{Q}{ε_0S}[V/m] …③
※Sは極板面積です。
この電界中で、単位電荷1[C]を基点から対象点まで移動させたときの電位を求めます。
このとき、コンデンサの極板間距離d[m]なので、
・基 点:d[m]
・対象点:0[m]
とします。
電位V[V]と電界E[V/m]の関係式に②式を代入すると、
\displaystyle \begin{eqnarray} V&=&-\int_{基点}^{対象点}E dr = -\int_{d}^{0}\frac{q}{ε_0S} dr = \frac{q}{ε_0S}\left[ r \right]_0^d \\ &=& \frac{q}{ε_0S}(d-0) = \frac{q}{ε_0S}d=Ed \end{eqnarray}
以上、\displaystyle V=Edが導出できました。
電位と等電位面
等電位面とは、電界中の電位の等しいところを繋げていくと出来る面を等電位面と呼びます。
等電位面には次の性質があります。
①等電位面は、電気力線や、電界の向きと直交します。
②等電位面上で電荷を動かす仕事は0です。
③等電位面の間隔が狭い程電界が強い。
④電位の異なる等電位面は交わりません。
⑤導体表面は等電位面となります。

過去問
難易度 ★☆☆☆☆
電験三種 令和5年度前期 問2 等電位面を含む論説
難易度 ★★☆☆☆
電験三種 令和4年度下期 問2 コンデンサと導体球の電位の論説
電験三種 令和元年度 問1 電位差の計算
電験三種 平成21年度 問17 コンデンサの電界・電位の計算
難易度 ★★★☆☆
電験三種 令和2年度下期 問1 電位と静電エネルギーの計算
関連記事(静電界に関する解説)
参考書
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