電位V

電位と電界の関係式は、単位電荷\(q=1[C]\)を、電界\(E[V/m]\)によって生じる静電気力\(F=qE=E[N]\)に逆らって、「基点」から「対象点」まで移動させた時の仕事が位置エネルギーとして蓄えられたことを表します。
※基点が定義されていないとき、つまり、単純に電位\(V[V]\)を求めるようなときは、
　無限遠点：\(\infty\) を基点とします。

電位の式について導出します。

点電荷の作る電界の電界強度\(E[V/m]\)は、ガウスの法則から、
\(\displaystyle E=\frac{Q}{4πε_0r^2}[V/m]\)　…①

この電界中で、単位電荷\(1[C]\)を基点から対象点まで移動させたときの電位を求めます。
このとき、
　・基　点：無限遠点（∞）
　・対象点：距離\(r[m]\)
とします。

電位\(V[V]\)と電界\(E[V/m]\)の関係式に①式を代入すると、
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
V&=&-\int_{基点}^{対象点}E dr = -\int_{∞}^{r}\frac{Q}{4πε_0r^2} dr = \frac{Q}{4πε_0}\left[ \frac{1}{r} \right]_∞^r \\
&=& \frac{Q}{4πε_0}\left( \frac{1}{r}-\frac{1}{∞}\right) = \frac{Q}{4πε_0r}
\end{eqnarray}\)
以上、\(\displaystyle V=\frac{Q}{4πε_0r}\)が導出できました。

補足：電位差の導出
基点を無限遠点とせず、
・基　点：\(r_b[m]\)のとき、\(V_b[V]\)
・対象点：\(r_a[m]\)のとき、\(V_a[V]\)
とした場合、電位差\(V_{ab}=V_a-V_b\)になることついて導出します。

\(\displaystyle \begin{eqnarray}
V&=&-\int_{基点}^{対象点}E dr = -\int_{r_b}^{r_a} \frac{Q}{4πε_0r^2} dr = \frac{Q}{4πε_0}\left[ \frac{1}{r} \right]_{r_b}^{r_a} \\
&=& \frac{Q}{4πε_0}\left( \frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right) = \frac{Q}{4πε_0r_a}-\frac{Q}{4πε_0r_b} = V_a-V_b
\end{eqnarray}\)

以上より、電位差\(V_{ab}=V_a-V_b\)が導出できました。

電位の式について導出します。

線電荷の作る電界の電界強度\(E[V/m]\)は、ガウスの法則から、
\(\displaystyle E=\frac{q}{2πε_0r}[V/m]\)　…②

この電界中で、単位電荷\(1[C]\)を基点から対象点まで移動させたときの電位を求めます。
このとき、
　・基　点：\(b[m]\)（外部円筒導体の半径）
　・対象点：距離\(r[m]\)
とします。
※同軸円筒導体の場合、基点を無限遠点に取ると、計算が出来ないため、外部円筒導体の半径と定めています。

電位\(V[V]\)と電界\(E[V/m]\)の関係式に②式を代入すると、
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
V&=&-\int_{基点}^{対象点}E dr = -\int_{b}^{r}\frac{q}{2πε_0r} dr = \frac{q}{2πε_0}\left[ ln r \right]_r^b \\
&=& \frac{q}{2πε_0}(ln b-ln r) = \frac{q}{2πε_0}ln \frac{b}{r}
\end{eqnarray}\)
以上、\(\displaystyle V=\frac{q}{2πε_0}ln \frac{b}{r}\)が導出できました。

電位の式について導出します。

線電荷の作る電界の電界強度\(E[V/m]\)は、ガウスの法則から、
\(\displaystyle E=\frac{Q}{ε_0S}[V/m]\)　…③
　※Sは極板面積です。

この電界中で、単位電荷\(1[C]\)を基点から対象点まで移動させたときの電位を求めます。
このとき、コンデンサの極板間距離\(d[m]\)なので、
　・基　点：\(d[m]\)
　・対象点：\(0[m]\)
とします。

電位\(V[V]\)と電界\(E[V/m]\)の関係式に②式を代入すると、
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
V&=&-\int_{基点}^{対象点}E dr = -\int_{d}^{0}\frac{q}{ε_0S} dr = \frac{q}{ε_0S}\left[ r \right]_0^d \\
&=& \frac{q}{ε_0S}(d-0) = \frac{q}{ε_0S}d=Ed
\end{eqnarray}\)
以上、\(\displaystyle V=Ed\)が導出できました。

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