【電験三種：理論】令和６年度上期　問８

概要

LCの共振周波数を求める計算問題です。
基礎的な問題なので、確実に回答したい問題です。
共振周波数は、LとCの合成リアクタンスが０となるときであることを理解していれば、問題なく解答できると思われます。

キーワード
共振周波数

　

問題

図のように、二つのLC直列共振回路A、Bがあり、それぞれの共振周波数が$f_A[Hz]$、$f_B[Hz]$である。これらA、Bをさらに直列に接続した場合、全体としての共振周波数が$f_{AB}[Hz]$になった。$f_A[Hz]$、$f_B[Hz]$及び$f_{AB}[Hz]$の大小関係として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)$f_A<f_B<f_{AB}$ 　　　(2) $f_A<f_{AB}<f_B$ 　　　(3) $f_B<f_{AB}<f_A$

(4) $f_{AB}<f_A<f_B$ 　　　(5) $f_{AB}<f_B<f_A$

　

答え

(３)

解説テキスト　リンク

　

回答の解説

(1)回路Aの共振周波数を求める
(2)回路Bの共振周波数を求める
(3)回路Aと回路Bの直列回路の共振周波数を求める
(4)共振周波数を整理

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(1)回路Aの共振周波数を求める

回路Aのリアクタンス$X_A$は、
$\displaystyle jX_A=jωL-j \frac{1}{ωC}=j \left( 2πfL-\frac{1}{2πfC} \right)$

※角周波数$ω$と周波数$f$の関係は、$ω=2πf$です。

リアクタンス$X_A=0$となるときの周波数が共振周波数$f_A$なので、
$\displaystyle 2πf_AL=\frac{1}{2πf_AC}$　⇔　$\displaystyle f_A=\frac{1}{2π \sqrt{LC}}$

　

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(2)回路Bの共振周波数を求める

回路Bのリアクタンス$X_B$は、
$\displaystyle jX_B=jω2L-j \frac{1}{ωC}=j \left( 2πf・2L-\frac{1}{2πfC} \right)$

リアクタンス$X_B=0$となるときの周波数が共振周波数$f_B$なので、
$\displaystyle 2πf_B・2L=\frac{1}{2πf_BC}$　⇔　$\displaystyle f_B=\frac{1}{\sqrt{2}・2π \sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{2}}f_A$

　

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(3)回路Aと回路Bの直列回路の共振周波数を求める

回路Ａと回路Bの直列回路のリアクタンス$X_{AB}$は、
$\displaystyle jX_{AB}=jωL-j \frac{1}{ωC}+jω2L-j \frac{1}{ωC}=j \left( 2πf・3L-\frac{2}{2πfC} \right)$

リアクタンス$X_{AB}=0$となるときの周波数が共振周波数$f_{AB}$なので、
$\displaystyle 2πf_{AB}・3L=\frac{2}{2πf_{AB}C}$　⇔　$\displaystyle f_{AB}=\sqrt{\frac{2}{3}}・\frac{1}{2π \sqrt{LC}}=\sqrt{\frac{2}{3}}f_A$

　

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(4)共振周波数を整理

回路Ａ：$f_A$
回路Ｂ：$f_B=\frac{1}{\sqrt{2}}f_A=0.707f_A$
回路ＡＢ：$f_{AB}=\sqrt{\frac{2}{3}}f_A=0.816f_A$

したがって、$f_B<f_{AB}<f_A$

以上より、（３）$f_B<f_{AB}<f_A$　が答えです。

　

出典元

一般財団法人電気技術者試験センター　（https://www.shiken.or.jp/index.html）
令和６年度上期　第三種電気主任技術者試験　理論科目Ａ問題問８

参考書