概要
内部抵抗がある電池に接続した可変抵抗の消費電力が最大になる抵抗値を求める計算問題です。
並列に固定抵抗が一つ取り付けられているので、少々難易度が上がっています。
問題文で出題されている通りに回路図を描いて計算することも可能ですが、計算量が多いです。
テブナンの定理を使って回路を簡略化することで計算量が抑えられます。
キーワード
テブナンの定理、微分
問題
起電力が\(E [V]\)で内部抵抗が\(r [Ω]\)の電池がある。この電池に抵抗\(R_1 [Ω]\)と
可変抵抗\(R_2 [Ω]\)を並列につないだとき、抵抗\(R_2 [Ω]\)から発生するジュール熱が
最大となるときの抵抗\(R_2\)の値\([Ω]\)を表す式として、正しいものを次の(1)～(5)の
うちから一つ選べ。
(1)\(\displaystyle R_2=r\) (2) \(\displaystyle R_2=R_1\) (3) \(\displaystyle R_2=\frac{rR_1}{r+R_1}\)
(4) \(\displaystyle R_2=\frac{rR_1}{R_1-r}\) (5) \(\displaystyle R_2=\frac{rR_1}{r-R_1}\)
答え
(３)
解説テキスト リンク
回答の解説
(1)問題文の回路を描く
(2)テブナンの定理から\(r\)と\(R_1\)をまとめた回路図を描きなおす
(3)消費電力を\(R_2\)で微分して最大消費電力となる\(R_2\)を求める
(1)問題文の回路を描く
起電力が\(E [V]\)で内部抵抗が\(r [Ω]\)の電池に、抵抗\(R_1 [Ω]\)と可変抵抗\(R_2 [Ω]\)を並列につないだ回路は、左図のようになります。
(2)テブナンの定理から\(r\)と\(R_1\)をまとめた回路図を描きなおす
（１）で示した回路をそのまま解析することも可能ですが、計算量が多くなります。
テブナンの定理を使って、内部抵抗\(r\)と、抵抗\(R_1\)をまとめた回路に書き直すことで計算がしやすくなります。
端子a、bから左側を見た合成抵抗を\(R_{ab}\)とすると、
\(\displaystyle \frac{1}{R_{ab}}=\frac{1}{r}+\frac{1}{R_1}\) ⇔ \(\displaystyle R_{ab}=\frac{rR_1}{r+R_1}\)
(3)消費電力を\(R_2\)で微分して最大消費電力となる\(R_2\)を求める
左図のようにテブナン回路にまとめた回路で、抵抗\(R_2\)に流れる電流\(I[A]\)は、
\(\displaystyle I=\frac{E_{ab}}{R_{ab}+R_2}\)
抵抗\(R_2\)で消費される電力\(P_2\)は、
\(\displaystyle P_2=I^2R_2=\frac{R_2}{(R_{ab}+R_2)^2}E^2_{ab}\)
次に、可変抵抗の抵抗値\(R_2\)が変化したとき、流れる電流\(I\)が変化するので、\(R_2\)で消費される電力\(P_2\)も変化します。
\(P_2\)を、\(R_2\)で微分することで、\(P_2\)の最大値が求められます。
すなわち、\(\frac{dP_2}{dR_2}=0\) のとき、可変抵抗で消費する電力が最大値となります。
\(\displaystyle \frac{dP_2}{dR_2}=\frac{(R_{ab}+R_2)^2-2R_2(R_{ab}+R_2)}{(R_{ab}+R_2)^4}E^2_{ab}=\frac{R_{ab}-R_2}{(R_{ab}+R_2)^3}E^2_{ab}=0\)
⇔ \(\displaystyle R_2=R_{ab}=\frac{rR_1}{r+R_1}\)
以上より、（３）\(\displaystyle \frac{rR_1}{r+R_1}\) が答えです。
出典元
一般財団法人電気技術者試験センター （https://www.shiken.or.jp/index.html）
令和６年度上期 第三種電気主任技術者試験 理論科目Ａ問題問７
参考書
イラストがとても多く、視覚的に理解しやすいので、初学者に、お勧めなテキストです。
問題のページよりも、解説のページ数が圧倒的に多い、初学者に向けの問題集です。
問題集は、解説の質がその価値を決めます。解説には分かりやすいイラストが多く、始めて電気に触れる人でも取り組みやすいことでしょう。
本ブログの管理人は、電験３種過去問マスタを使って電験３種を取りました。
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