概要
電子のエネルギーに関する式の導出問題です。
内容は基礎レベルですが、電圧Vの意味について理解していて、エネルギーと紐づけ出来る必要があるので、意外に詰まる問題かもしれません。
キーワード
電圧、ポテンシャルエネルギー
問題
真空中に置かれた平行電極板間に、直流電圧\(V[V]\)を加えて平等電界\(E[V/m]\)を作り、この陰極板に電子を置いた場合、初速零で出発した電子が陽極板に到達したときの速さは、\(v[m/s]\)となった。
このときの電子の運動エネルギーは、電子が陽極板に到達するまでに得るエネルギーに等しいと考えられ、次の式が成立する。
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=\fbox{ （ア） }\)
ただし、電子の電気素量を\(e[C]\)、電子の質量を\(m[kg]\)とする。
したがって、この式から電子の速さ\(v[m/s]\)は、\(\fbox{ （イ） }\)で表される。
上記の記述中の空白箇所（ア）及び（イ）に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| （ア） | （イ） | |
|---|---|---|
| （１） | \(eV\) | \(\displaystyle \sqrt{\frac{4eV}{m}}\) |
| （２） | \(eV\) | \(\displaystyle \sqrt{\frac{2eV}{m}}\) |
| （３） | \(2eV\) | \(\displaystyle \sqrt{\frac{4eV}{m}}\) |
| （４） | \(eE\) | \(\displaystyle \sqrt{\frac{2eE}{m}}\) |
| （５） | \(eE\) | \(\displaystyle \sqrt{\frac{4eE}{m}}\) |
答え
(２)
解説テキスト リンク
回答の解説
(1)電子が電界から受け取るエネルギーを求める
(2)運動エネルギーと受け取るエネルギーの式から速度を計算する
(1)電子が電界から受け取るエネルギーを求める
電圧\(V[V]\)は、電界中で単位電荷が持つ静電気力による位置エネルギーであり、ポテンシャルエネルギーと呼ばれます。
したがって、電荷量\(e[C]\)の電子が受け取るエネルギー\(W\)は、
\(W=eV[J]\)
です。
したがって、\(\fbox{ （ア） }=eV\)が答えです。
(2)運動エネルギーと受け取るエネルギーの式から速度を計算する
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=\fbox{ （ア） }\)
⇨ \(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=eV\)
⇔ \(\displaystyle v=\frac{2eV}{m}\)
したがって、\(\displaystyle \fbox{ （イ） }=\sqrt{\frac{2eV}{m}}\) が答えです。
以上より、（２）が答えです。
電子が電界から受け取るエネルギーの別アプローチ
電子\(e[C]\)が電界\(E[V/m]\)から受ける静電気力\(F[N]\)は、
\(F=eE\) …①
この電子を\(d[m]\)動かすのに必要なエネルギー\(W[J]\)は、
\(W=Fd\) …②
次に、平行電極板間における電圧\(V[V]\)と、電界\(E[V/m]\)の関係は、
\(V=Ed\) …③
です。
②式に、①式、③式を代入すると、
\(W=Fd=eEd=eV[J]\)
以上より、\(\fbox{ （ア） }=eV\)と求まりました。
出典元
一般財団法人電気技術者試験センター （https://www.shiken.or.jp/index.html）
令和６年度上期 第三種電気主任技術者試験 理論科目Ａ問題問１２
参考書
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