【電験三種：理論】令和５年度上期　問８

(a)共振時のインピーダンス
①共振時のインピーダンスを計算する

RLC直列回路のインピーダンス$Z$は
$\displaystyle Z=R+j2πfL+\frac{1}{j2πfC}$
⇔　$\displaystyle Z=R+j \left( 2πfL-\frac{1}{2πfC} \right)$

共振周波数$f_r[Hz]$のとき、
$\displaystyle 2πf_rL-\frac{1}{2πf_rC}=0$
となり、この時のインピーダンス$Z$は、
$Z=R$

共振周波数以外の周波数$f[Hz]$の時のインピーダンスの大きさは
$\displaystyle Z=\sqrt{R^2+\left( 2πfL-\frac{1}{2πfC} \right)^2}$

なので、共振時のインピーダンスは全周波数のインピーダンスの中で最小です。
したがって、回路のインピーダンスは ア＝小さく なります。

②共振時の電流を計算する
共振時、回路に流れる電流$I[A]$は、
$\displaystyle I=\frac{v}{Z}=\frac{v}{R}$

となり、 イ＝大きな 電流が流れます。

(b)周波数が低いとき
③低い周波数$f_L[Hz]$のときのインピーダンスを求める
インピーダンスの式　$\displaystyle Z=R+j \left( 2πfL-\frac{1}{2πfC} \right)$

から、周波数が$f_r[Hz]$よりも低い$f_L[Hz]$になると、
・誘導性リアクタンス$2πfL$は比例して小さくなります。
・容量性リアクタンス$\displaystyle \frac{1}{2πfC}$は反比例して大きくなります。

したがって、容量性リアクタンスの影響が大きくなるため、回路のリアクタンスは ウ＝容量性 となります。

④$f_L[Hz]$の時のインピーダンスの位相を求める
周波数$f_L[Hz]$が非常に低く、誘導性リアクタンスが無視できるとしたときのインピーダンス$Z_L$は、次式となります。
$\displaystyle Z_L=R-j\frac{1}{2πfC}$

$Z_L$の位相角$∠θ_{ZL}$は、
$\displaystyle ∠θ_{ZL}=tan^{-1}\frac{Im}{Re}=tan^{-1}\frac{-\frac{1}{2πfC}}{R}=tan^{-1}\frac{-1}{2πfCR}$

⑤$f_L[Hz]$の時の電流の位相を求める
電圧の位相$∠θ_v=0°$としたときの電流の位相$∠θ_I$は、
$\displaystyle ∠θ_I=\frac{∠θ_v}{∠θ_{ZL}}=\frac{0°}{-tan^{-1}\frac{1}{2πfCR}}$

⇔　$\displaystyle ∠θ_I=0- \left( -tan^{-1}\frac{1}{2πfCR}\right)$

⇔　$\displaystyle ∠θ_I=tan^{-1}\frac{1}{2πfCR}$

以上より、電流の位相$∠θ_I$はプラスであるため、電圧の位相$∠θ_v$より位相が エ＝進んだ 電流が流れます。
　

(c)周波数が高いとき
⑥非常に高い周波数$f_H[Hz]$のときのインピーダンスを求める
インピーダンスの式　$\displaystyle Z=R+j \left( 2πfL-\frac{1}{2πfC} \right)$

から、周波数が$f_r[Hz]$よりも高い$f_H[Hz]$になると、
・誘導性リアクタンス$2πfL$は比例して大きくなります。
・容量性リアクタンス$\displaystyle \frac{1}{2πfC}$は反比例して小さくなります。

したがって、誘導性リアクタンスの影響が大きくなるため、回路のリアクタンスは オ＝誘導性 となります。

⑦$f_H[Hz]$の時のインピーダンスの位相を求める
周波数$f_H[Hz]$が非常に高く、容量性リアクタンスが無視できるとしたときのインピーダンス$Z_H$は、次式となります。
$\displaystyle Z_H=R+j2πfL$

$Z_H$の位相角$∠θ_{ZH}$は、
$\displaystyle ∠θ_{ZH}=tan^{-1}\frac{Im}{Re}=tan^{-1}\frac{2πfL}{R}$

⑧$f_H[Hz]$の時の電流の位相を求める
電圧の位相$∠θ_v=0°$としたときの電流の位相$∠θ_I$は、
$\displaystyle ∠θ_I=\frac{∠θ_v}{∠θ_{ZH}}=\frac{0°}{tan^{-1}\frac{2πfL}{R}}$

⇔　$\displaystyle ∠θ_I=0- \left( tan^{-1}\frac{2πfL}{R} \right)$

⇔　$\displaystyle ∠θ_I=-tan^{-1}\frac{2πfL}{R}$

以上より、電流の位相$∠θ_I$はマイナスであるため、電圧の位相$∠θ_v$より位相が カ＝遅れた 電流が流れます。
　

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