難易度
並列接続されたコンデンサの式を求める問題です。
基本的な公式を理解しておけば十分に解ける簡単な問題です。
問題
電極板面積と電極板間隔が共に\(S[m^2]\)と\(d[m]\)で、一方は比誘電率が\(ε_{r1}\)の誘電体からなる平行平板コンデンサ\(C_1\)と、他方は比誘電率が\(ε_{r2}\)の誘電体からなる平行平板コンデンサ\(C_2\)がある。
今、これらを図のように並列に接続し、端子A、B間に直流電圧\(V_0[V]\)を加えた。
このとき、コンデンサ\(C_1\)の電極板間の電界の強さを\(E_1[V/m]\)，電束密度を\(D_1[C/m^2]\)、また、コンデンサ\(C_2\)の電極板間の電界の強さを\(E_2[V/m]\)、電束密度を\(D_2[C/m^2]\)とする。
両コンデンサの電界の強さ\(E_1[V/m]\)と\(E_2[V/m]\)はそれぞれ ア であり、電束密度\(D_1[C/m^2]\)と\(D_2[C/m^2]\)はそれぞれイ である。
したがって、コンデンサ\(C_1\)に蓄えられる電荷を\(Q_1[C]\)、コンデンサ\(C_2\)に蓄えられる電荷を\(Q_2[C]\)とすると、それらはそれぞれウ となる。
ただし、電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は、無視できるものとする。また、真空の誘電率を\(ε_0[F/m]\)とする。
上記の記述中の空白箇所(ア)～(ウ)に当てはまる式の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| （ア） | （イ） | （ウ） | |
| （１） | \(\displaystyle E_1=\frac{ε_{r1}}{d}V_0\) \(\displaystyle E_2=\frac{ε_{r2}}{d}V_0\) | \(\displaystyle D_1=\frac{ε_{r1}}{d}SV_0\) \(\displaystyle D_2=\frac{ε_{r2}}{d}SV_0\) | \(\displaystyle Q_1=\frac{ε_0ε_{r1}}{d}SV_0\) \(\displaystyle Q_2=\frac{ε_0ε_{r2}}{d}SV_0\) |
| （２） | \(\displaystyle E_1=\frac{ε_{r1}}{d}V_0\) \(\displaystyle E_2=\frac{ε_{r2}}{d}V_0\) | \(\displaystyle D_1=\frac{ε_0ε_{r1}}{d}V_0\) \(\displaystyle D_2=\frac{ε_0ε_{r2}}{d}V_0\) | \(\displaystyle Q_1=\frac{ε_0ε_{r1}}{d}SV_0\) \(\displaystyle Q_2=\frac{ε_0ε_{r2}}{d}SV_0\) |
| （３） | \(\displaystyle E_1=\frac{V_0}{d}\) \(\displaystyle E_2=\frac{V_0}{d}\) | \(\displaystyle D_1=\frac{ε_0ε_{r1}}{d}SV_0\) \(\displaystyle D_2=\frac{ε_0ε_{r2}}{d}SV_0\) | \(\displaystyle Q_1=\frac{ε_0ε_{r1}}{d}V_0\) \(\displaystyle Q_2=\frac{ε_0ε_{r2}}{d}V_0\) |
| （４） | \(\displaystyle E_1=\frac{V_0}{d}\) \(\displaystyle E_2=\frac{V_0}{d}\) | \(\displaystyle D_1=\frac{ε_0ε_{r1}}{d}V_0\) \(\displaystyle D_2=\frac{ε_0ε_{r2}}{d}V_0\) | \(\displaystyle Q_1=\frac{ε_0ε_{r1}}{d}SV_0\) \(\displaystyle Q_2=\frac{ε_0ε_{r2}}{d}SV_0\) |
| （５） | \(\displaystyle E_1=\frac{ε_0ε_{r1}}{d}SV_0\) \(\displaystyle E_2=\frac{ε_0ε_{r2}}{d}SV_0\) | \(\displaystyle D_1=\frac{ε_0ε_{r1}}{d}V_0\) \(\displaystyle D_2=\frac{ε_0ε_{r2}}{d}V_0\) | \(\displaystyle Q_1=\frac{ε_0}{d}SV_0\) \(\displaystyle Q_2=\frac{ε_0}{d}SV_0\) |
答え
（４）
要点整理
電界Ｅと電圧Ｖの関係について
電界の強さ\(E\)と、電位\(V\)の関係は、\(V=Ed\)です。
\(V=Ed\)を導出します。
電位\(V\)は、１Cの電荷を基点から対象点へ動かすときの仕事です。
基点はコンデンサの上端で\(d[m]\)
対象点はコンデンサの下端で\(0[m]\)
としたとき、電界の強さ\(E\)と電位\(V\)の関係は次のように表されます。
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
V&=&-\int_d^0E・dr=-\int_d^0\frac{Q}{εS}dr\\
&=&-\frac{Q}{εS}[r]_d^0=\frac{Q}{εS}d=Ed
\end{eqnarray}\)
以上より、\(V=Ed\)が導出できました。
※この導出で、電界\(E\)をあえて\(E=\frac{Q}{εS}\)として展開しているのは、\(r\)が含まれていないことを示すためだけです。
電束Qと電気力線の本数N
電束とは、電気力線の総本数を表す物です。
\(Q[C]\)の電荷から出てくる電束は、\(Q\)です。つまり、電束は、電荷\(Q[C]\)の事を表す物と言えます。
電気力線の本数を\(N[本]\)としたとき、その本数は、\(\displaystyle N=\frac{Q}{ε}[本]\)です。
式変形すると、\(Q=εN\)なので、
電束Qは、電気力線を\(ε[本]\)束ねた物が電束となると言えます。
電束密度Dについて
電束密度\(D[C/m^2]\)は、面積\(S[m^2]\)の平局面における、電束\(Q[C]\)の密度です。
つまり、\(\displaystyle D=\frac{Q}{S}[C/m^2]\)です。
点電荷の場合
電束は球状に広がるので、面積\(S[m^2]\)は、球の表面積となります。つまり、\(S=4πr^2\)です。
したがって、点電荷から\(r[m]\)離れた地点の電束密度Dは、
\(\displaystyle D=\frac{Q}{4πr^2}[C/m^2]\)となります。
直線電荷の場合
電束は横方向のみに広がるので、面積\(S[m^2]\)は、円の表面積となります。つまり、\(S=2πr\)です。
したがって、点電荷から\(r[m]\)離れた地点の電束密度Dは、
\(\displaystyle D=\frac{Q}{2πr}[C/m^2]\)となります。
コンデンサの場合
コンデンサの電束は、極板間のみを通りますので、電束を出す極板からどんなに距離が離れても面積は変わりません。
したがって、面積\(S[m^2]\)は、極板の面積Sとなります。
コンデンサの電束密度Dは、
\(\displaystyle D=\frac{Q}{S}[C/m^2]\)となります。
電界の強さEについて
電界の強さ\(E[V/m]\)は、面積\(S[m^2]\)の平局面における、電気力線の本数\(N[本]\)の密度です。
つまり、\(\displaystyle E=\frac{N}{S}=\frac{Q}{εS}[C/m^2]\)です。
点電荷の場合
電気力線は球状に広がるので、面積\(S[m^2]\)は、球の表面積となります。
つまり、\(S=4πr^2\)です。
したがって、点電荷から\(r[m]\)離れた地点の電界の強さEは、
\(\displaystyle E=\frac{Q}{4πεr^2}[V/m]\)となります。
直線電荷の場合
電束は横方向のみに広がるので、面積\(S[m^2]\)は、円の表面積となります。つまり、\(S=2πr\)です。
したがって、線電荷から\(r[m]\)離れた地点の電界の強さEは、
\(\displaystyle E=\frac{Q}{2πεr}[V/m]\)となります。
コンデンサの場合
コンデンサの電束は、極板間のみを通りますので、電束を出す極板からどんなに距離が離れても面積は変わりません。
したがって、面積\(S[m^2]\)は、極板の面積Sとなります。
コンデンサの電界の強さEは、
\(\displaystyle E=\frac{Q}{εS}[V/m]\)となります。
電界Ｅと電束密度Ｄの関係について
電界の強さEの式、\(\displaystyle E=\frac{Q}{εS}\)
電束密度Dの式、\(\displaystyle D=\frac{Q}{S}\)
から、\(D=εE\)であることがわかります。
電荷Qと電位Vの関係について
電荷Q[C]、静電容量C[F]、電位V[V]としたとき、これらの関係は
\(Q=CV\)
です。
この関係は、水槽に溜まった水と同様に考えられます。
・電荷Q = 水槽に溜まった水量
・静電容量C = 水槽の大きさ
・電圧V = 水槽の水位
容器が大きければ水量が増えても水位は増えずらく、容器が小さければわずかな水量でも水位はあがります。
コンデンサも、静電容量\(C[F]\)が大きければ電荷\(Q[C]\)が増えても電位\(V[V]\)は上がりづらく、静電容量が小さければわずかな電荷で電位はあがります。
回答解説
ア
電界の強さEと、電圧Vの関係式は、
\(V=Ed\)
⇔\(\displaystyle E=\frac{V}{d}\)
です。
この関係式中で、電圧は\(V_0\)、電極板間隔は\(d[m]\)なので、\(C_1\)のコンデンサの電界の強さ\(E_1\)は、
\(\displaystyle E_1=\frac{V_0}{d}\)
\(C_2\)のコンデンサの電界の強さ\(E_2\)は、
\(\displaystyle E_2=\frac{V_0}{d}\)
です。
イ
電束密度Dと、電界の強さEの関係式は、
\(D=εE\) ………①
です。
\(C_1\)のコンデンサの誘電率\(ε_1[F/m]\)、比誘電率が\(ε_{r1}\)、真空の誘電率\(ε_0[F/m]\)の関係は、
\(ε_1=ε_{r1}ε_0\) ………②
\(C_2\)のコンデンサの誘電率も同様に、
\(ε_2=ε_{r2}ε_0\) ………③
①式に②・③式を代入すると、
\(\displaystyle D_1=ε_{r1}ε_0E=\frac{ε_{r1}ε_0}{d}V_0\)
\(\displaystyle D_2=ε_{r2}ε_0E=\frac{ε_{r2}ε_0}{d}V_0\)
です。
ウ
コンデンサの電界の強さEは、電荷Q、誘電率ε、極板面積Sとしたとき、
\(E=\frac{Q}{εS}\)
です。
式変形をすると、
\(\displaystyle Q=εSE=εS\frac{V}{d}\)
となります。
したがって、\(C_1\)のコンデンサの電荷\(Q_1[C]\)は、
\(\displaystyle Q_1=\frac{ε_{r1}ε_0}{d}SV_0\)
\(C_2\)のコンデンサの電荷\(Q_2[C]\)は、
\(\displaystyle Q_2=\frac{ε_{r2}ε_0}{d}SV_0\)
以上より、（４）が答えです。
出典元
令和５年度第三種電気主任技術者試験 理論科目A問題上期問１
参考書
イラストがとても多く、視覚的に理解しやすいので、初学者に、お勧めなテキストです。
問題のページよりも、解説のページ数が圧倒的に多い、初学者に向けの問題集です。
問題集は、解説の質がその価値を決めます。解説には分かりやすいイラストが多く、始めて電気に触れる人でも取り組みやすいことでしょう。
本ブログの管理人は、電験３種過去問マスタを使って電験３種を取りました。
この問題集の解説は、要点が端的にまとまっていて分かりやすいのでお勧めです。
ある程度学んで基礎がある人に向いています。
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