【電験三種：理論】令和５年度下期　問５

難易度

直流回路に関する問題です。
基本的なレベルの問題なので、確実に回答したいです。

問題

図に示す直流回路は、$100V$の直流電圧源に直流電流計を介して$10Ω$の抵抗が接続され、$50Ω$の抵抗と抵抗$R[Ω]$が接続されている。
電流計は$5A$を示している。
抵抗$R[Ω]$で消費される電力の値$[W]$として、最も近いものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。
なお、電流計の内部抵抗は無視できるものとする。

（１）２　　　（２）１０　　　（３）２０　　　（４）１００　　　（５）２００

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答え

(５)

要点整理

分圧の法則について

図のように、抵抗$R_1[Ω]$と、抵抗$R_2[Ω]$が直列接続されていて、電圧$V[V]$が印加されているとき、回路全体に$I[A]$の電流が流れ、抵抗$R_1[Ω]$には$V_1[V]$、抵抗$R_2[Ω]$には$V_2[V]$の電圧が印加されているとします。この時の分圧の法則は次のように示されます。

分圧の法則

$\displaystyle V_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}V$

$\displaystyle V_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}V$

分圧の法則の証明

この式を一々覚えるのは脳の容量の無駄なので、この分流の法則を証明します。

抵抗$R_1[Ω]$、$R_2[Ω]$の合成抵抗$R[Ω]$は、
$\displaystyle R=R_1+R_2$　　　………①

回路全体のオームの法則から、①を代入すると
$\displaystyle I=\frac{V}{R}=\frac{V}{R_1+R_2}I$　　　………②

抵抗$R_1[Ω]$に印加される電圧$V_1[A]$は、オームの法則から、②を代入すると
$\displaystyle V_1=IR_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}V$

抵抗$R_2[Ω]$に印加される電圧$V_2[A]$は、オームの法則から、②を代入すると
$\displaystyle V_2=IR_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}V$

以上で、分圧則の式が証明できました。

分流の法則について

図のように、抵抗$R_1[Ω]$と、抵抗$R_2[Ω]$が並列接続されていて、電圧$V[V]$が印加されているとき、回路全体に$I[A]$の電流が流れ、抵抗$R_1[Ω]$には$I_1[A]$、抵抗$R_2[Ω]$には$I_2[A]$の電流が流れているとします。この時の分流の法則は次のように示されます。

分流の法則

$\displaystyle I_1=\frac{R_2}{R_1+R_2}I$

$\displaystyle I_2=\frac{R_1}{R_1+R_2}I$

分流の法則の証明

この式を一々覚えるのは脳の容量の無駄なので、この分流の法則を証明します。

抵抗$R_1[Ω]$、$R_2[Ω]$の合成抵抗$R[Ω]$は、
$\displaystyle R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$　　　………①

回路全体のオームの法則から、
$\displaystyle V=IR=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}I$　　　………②

抵抗$R_1[Ω]$に流れる電流$I_1[A]$は、オームの法則から、②を代入すると
$\displaystyle I_1=\frac{V}{R_1}=\frac{R_2}{R_1+R_2}I$

抵抗$R_2[Ω]$に流れる電流$I_2[A]$は、オームの法則から、②を代入すると
$\displaystyle I_2=\frac{V}{R_2}=\frac{R_1}{R_1+R_2}I$

以上で、分流則の式が証明できました。

要点整理の適用

電流計が$5A$を示していることから、全抵抗の合成抵抗$R’$は、
$\displaystyle R’=\frac{V}{I}=\frac{100}{5}=20Ω$

回路図から、合成抵抗$R’$を導くと、
$\displaystyle R’=10+\frac{50R}{R+50}$
と、立式できるので、$R’=20Ω$を代入して式を整理することで$R$を求めます。

$\displaystyle 10=\frac{50R}{R+50}$
⇔$\displaystyle 10(R+50)=50R$
⇔$\displaystyle 500=40R$
⇔$\displaystyle R=12.5Ω$
したがって、$\displaystyle R=12.5Ω$と求まりました。

抵抗$R[Ω]$で消費される電力を求めるには、抵抗$R[Ω]$にかかる電圧か、流れる電流のどちらかを求めれば良いです。

①解法１　抵抗$R[Ω]$にかかる電圧を求めてから消費電力を求める
回路図の$10Ω$の電圧降下は、$V_10Ω=5[A]・10[Ω]=50[V]$なので、
抵抗$R[Ω]$にかかる電圧を$V_R$とすると、$V_R=100-50=50[V]$と求まります。
消費電力の式は、$\displaystyle W=\frac{V^2}{R}=\frac{50^2}{12.5}=200[W]$と求まります。

②解法２　抵抗$R[Ω]$に流れる電流を求めてから消費電力を求める
回路全体に流れる$5[A]$は、抵抗$R[Ω]$と、抵抗$50[Ω]$に分流されます。
分流の式から
$\displaystyle I_R=\frac{50}{R+50}・5=\frac{50}{62.5}・5=4[A]$と求まります。
消費電力の式は、$\displaystyle W=I^2R=4^2・12.5=200[W]$と求まります。

以上より、（５）２００　が答えとなります。

出典元

令和５年度第三種電気主任技術者試験　理論科目Ａ問題下期問５

参考書