【電験三種：理論】令和５年度下期　問１５

図１

左の図１のように接続したY結線の電源で、
相電圧は、$V_a$、$V_b$、$V_c$です。
線間電圧は、$V_{ab}$、$V_{bc}$、$V_{ca}$です。

相電圧と、線間電圧の関係を簡単にまとめると、
・線間電圧の大きさは、相電圧の$\sqrt{3}$倍の大きさです。
・線間電圧の位相は、相電圧よりも30°進んでいます。
この２つの理由について解説します。

図２

三相交流の各電源$V_a$、$V_b$、$V_c$は、同じ大きさの電圧で、位相が120°ずつずれています。
それを図にすると、図２の通りです。

図３

線間電圧$V_{ab}$と相電圧$V_a$、$V_b$の関係は、
$V_{ab}=V_a-V_b$
です。

【電圧の大きさ】
$-V_b$は、$V_b$と真逆方向のベクトルです。
$V_{ab}$は、$V_a$と$-V_b$をベクトル合成したものなので、
$\displaystyle V_{ab}=2・V_a・cos30°=2・V_a・\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}V_a$
となり、線間電圧$V_{ab}$の大きさは、相電圧$V_a$の$\sqrt{3}$倍の大きさとなりました。

【位相差】
図３の通り、線間電圧$V_{ab}$の位相は、相電圧$V_a$よりも30°進んでいます。

図４

線間電圧$V_{bc}$、$V_{ca}$についても、同様に求めて行くと、

線間電圧$V_{bc}$は、相電圧$V_b$に対して、
電圧の大きさは$\sqrt{3}$倍、位相は30°進みです。

線間電圧$V_{ca}$は、相電圧$V_c$に対して、
電圧の大きさは$\sqrt{3}$倍、位相は30°進みです。

以上をベクトル図に示すと、図４の通りです。

図１

左の図１のように接続したΔ結線の電源で、
相電流は、$I_{ab}$、$I_{bc}$、$I_{ca}$です。
線電流は、$I_a$、$I_b$、$I_c$です。

相電流と、線電流の関係を簡単にまとめると、
・線電流の大きさは、相電流の(\sqrt{3}\)倍の大きさです。
・線電流の位相は、相電流よりも30°遅れています。
この２つの理由について解説します。

図２

$I_{ab}$、$I_{bc}$、$I_{ca}$は、同じ大きさの電流で、位相が120°ずつずれています。
それを図にすると、図２の通りです。

図３

線電流$I_a$と相電流$I_{ab}$、$I_{ca}$の関係は、キルヒホッフの電流則から、
$I_a=I_{ab}-I_{ca}$
です。

【電流の大きさ】
$-I_{ca}$は、$I_{ca}$と真逆方向のベクトルです。
$I_{ab}$は、$I_{ab}$と$-I_{ca}$のベクトル合成です。
$\displaystyle I_a=2・I_{ab}・cos30°=2・I_{ab}・\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}I_{ab}$
となり、線電流$I_a$の大きさは、相電流$I_{ab}$の$\sqrt{3}$倍の大きさとなりました。

【位相差】
左図の通り、線電流$I_a$の位相は、相電流$I_{ab}$よりも30°遅れています。

図４

線電流$I_b$、$I_c$についても、同様に求めて行くと、

線電流$I_b$は、相電流$I_{bc}$に対して、
電流の大きさは$\sqrt{3}$倍、位相は30°遅れです。

線電流$I_c$は、相電流$I_{ca}$に対して、
電流の大きさは$\sqrt{3}$倍、位相は30°遅れです。

以上をベクトル図に示すと、図４の通りです。

$Z、R、X$の関係を複素数平面図に表すと、左図のようになります。

$Re$と記載した横軸は、実軸(Real axis)
$Im$と記載した縦軸は、虚軸(Imaginary axis)
です。

左図からわかる通り
$R=Zcosθ$
$X=Zsinθ$
です。

$cosθ$は、力率と呼ばれます。
力率は1.0に近い程効率良く電力を送電できます。

三平方の定理から、
$Z=\sqrt{R^2+X^2}$
の関係もあります。

Δ結線の抵抗を$R_\Delta$
Y結線の抵抗を$R_Y$
とし、AB間、BC間、CA間の抵抗が全て同じ抵抗値の物が接続されているとします。

まずは、Δ結線のAB間の抵抗について検討します。
Δ結線のAB間の抵抗を$R_{AB}$としたとき、

$\displaystyle \frac{1}{R_{AB}}=\frac{1}{R_\Delta}+\frac{1}{2R_\Delta}=\frac{3}{2R_\Delta}$

⇔$\displaystyle R_{AB}=\frac{2R_\Delta}{3}$　……①

次に、Y結線のAB間の抵抗について検討します。
Y結線のAB間の抵抗も同じく$R_{AB}$とすると、
$R_{AB}=2R_Y$　……②
となります。

最後に、①=②より、
$\displaystyle \frac{2R_\Delta}{3}=2R_Y$
したがって、
$R_\Delta=3R_Y$
⇔$\displaystyle R_Y=\frac{1}{3}R_\Delta$
の関係が導き出せます。
注意点としては、全ての抵抗が同じ抵抗という前提の元、簡略化しています。

全部の抵抗値が違う場合のY-Δ変換の公式は、

$\displaystyle R_{YA}=\frac{R_{\Delta B}R_{\Delta C}}{R_{\Delta A}+R_{\Delta B}+R_{\Delta C}}$

$\displaystyle R_{YB}=\frac{R_{\Delta C}R_{\Delta A}}{R_{\Delta A}+R_{\Delta B}+R_{\Delta C}}$

$\displaystyle R_{YC}=\frac{R_{\Delta A}R_{\Delta B}}{R_{\Delta A}+R_{\Delta B}+R_{\Delta C}}$

です。導出するのは手間なので、ここでは割愛します。

問題の図１から、線間電圧が210Vです。
相電圧$V$は、Y結線の相電圧と線間電圧の関係から$\displaystyle V=\frac{210}{\sqrt{3}}[V]$です。
線電流は$\displaystyle I=\frac{14}{\sqrt{3}}[A]$です。

相電圧と線電流をまとめて表すと左図のようになります。
インピーダンス$Z$を求めると、

$\displaystyle Z=\frac{V}{I}=\frac{\frac{210}{\sqrt{3}}}{\frac{14}{\sqrt{3}}}=\frac{210}{14}=15[Ω]$です。

問題文から、力率$cosθ=0.8$ですので、
$cos^2θ+sin^2θ=1$
⇔$sinθ=\sqrt{1-cos^2θ}=\sqrt{1-0.8^2}=\sqrt{0.36}=0.6$

したがって、リアクタンス$X[Ω]$は、
$X=Zsinθ=15・0.6=9[Ω]$です。

問題の図２は、電源がY結線、負荷がΔ結線で問題を解くのが難しいです。
そのため、負荷のΔ結線をY結線に変換することで解きやすくします。

Y-Δ変換は、
$\displaystyle R_Y=\frac{1}{3}R_\Delta$
なので、
Δ結線からY結線にするときは、$\frac{1}{3}$倍にします。

問題の回路をΔ-Y変換した後の回路は、左図のとおりです。

三相回路から、１相分だけ取り出します。
電流の大きさ$|I’|$は、
$\displaystyle |I’|=\frac{V}{|Z|}=\frac{200}{\sqrt{4^2+3^2}}=40[A]$

電流$I’=40[A]$で、抵抗$R=4[Ω]$なので、
１相分の消費電力は、
$P_1=I’^2R=40^2・4=6400=6.4[kW]$
です。
本問の回路は三相交流なので、三相全ての消費電力を考慮するために３倍する必要があります。したがって、
$P=3P_1=3・6.4=19.2[kW]$
となります。したがって、回答は（４）19.2 です。