【電験三種：理論】令和５年度下期　問１０

難易度

コンデンサから放電するときの過渡現象の論説問題です。
過渡現象の単元は解き方に慣れるまでは難易度が高いです。
この問題は、この単元の中は中程度の難易度です。
引っかけ問題というほどではありませんが、回答の選択肢の言葉の意味をしっかりと考えないとミスリードされてしまうかもしれません。

問題

図のように、電圧$E[V]$の直流電源、スイッチS、$R[Ω]$の抵抗及び静電容量$C[F]$のコンデンサからなる回路がある。
この回路において、スイッチSを１側に接続してコンデンサを十分に充電した後、時刻$t=0s$でスイッチSを１側から２側に切り替えた。
２側に切り替えた以降の記述として、誤っているものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。
ただし、自然対数の底は、2.718とする。

（１）回路の時定数は、$C$の値$[F]$に比例する。
（２）コンデンサの端子電圧$v_C[V]$は、$R$の値$[Ω]$が大きいほど緩やかに減少する。
（３）時刻$t=0s$から回路の時定数だけ時間が経過すると、コンデンサの端子電圧$v_C[V]$は直流電源の電圧$E[V]$の$0.368$倍に減少する。
（４）抵抗の端子電圧$v_R[V]$の値は負である。
（５）時刻$t=0s$における回路の電流$i[A]$は、$C$の値$[F]$に関係する。

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答え

(５)

要点整理

初等解析法を使った過渡解析

過渡現象を初等解析法で解く方法の流れは以下の流れです。
①回路図から微分方程式を作る
②過渡状態の$v_C$の電圧：$v_{Ct}$を解析する
③定常状態の$v_C$の電圧：$v_{Cs}$を解析する
④$v_C=v_{Ct}+v_{Cs}$とすることで、コンデンサCの電圧の式を組み立てる
⑤初期条件$t=0[s]$から、$v_C$の式中の未定だった係数を導き出す
⇒完了

文字に手順を起こすと少々手順が多いように見えますが、実際多いです。
しかし、ラプラス変換で解く方法や、微分方程式から数学的に解く方法よりは圧倒的に楽で早いです。

コンデンサの電荷$Q$と静電容量$C$と電圧$V$の関係式から、
$Q=CV$　　　………(1)

回路中に流れる電流を$i$としたとき、電流は、電荷の流れなので、
$\displaystyle i=\frac{dq}{dt}=\frac{dv_C}{dt}$　　　………(2)

(2)式を使って、２側に切り替えた後の回路の微分方程式を立てると、
$v_R+v_C=0$
⇔$iR+v_C=0$
⇔$\displaystyle RC\frac{dv_C}{dt}+v_C=0$　　　………(3)

となります。
この(3)式を使って、過渡状態、定常状態の２つの状態について解析していきます。

過渡状態

過渡状態の時の$v_C$は、$v_{Ct}$とします。
このとき、(3)式中の変数に下記(4)・(5)式をあてはめます。

$v_{Ct}=ke^{st}$　　　………(4)
(4)式をtで微分すると
$\displaystyle \frac{dv_{Ct}}{dt}=ske^{st}$　　　………(5)

(3)式は、
$\displaystyle RCske^{st}+ke^{st}=(1+RCs)ke^{st}=0$　　　………(6)
となります。(6)式を満たすsは、
$\displaystyle s=-\frac{1}{RC}$　………(7)

(7)式を(4)式に代入すると、
$\displaystyle v_{Ct}=ke^{-\frac{1}{RC}t}$　　　………(8)

そして、過渡現象における時定数$τ$は、先ほど求めた$s$の逆数なので、
$\displaystyle τ=\frac{1}{s}=RC$　………(9)

定常状態

定常状態になると、電流・電圧の変化は無くなるので、(3)式中の微分項は0となります。
定常状態の$v_C$を、$v_{Cs}$としますと、
$\displaystyle \frac{dv_{Cs}}{dt}=0$　…(10)

(10)を(3)式に代入すると、
$\displaystyle v_{Cs}=0$　…(11)

まとめ

過渡状態$v_{Ct}$、定常状態$v_{Cs}$を足し合わせることで、$v_C$の式を導き出せます。

(8)式と、(11)式から、
$v_C=v_{Ct}+v_{Cs}=ke^{-\frac{1}{RC}t}+0$　…(12)

係数kを初期条件から求めます。
２側に切り替えた直後$t=0$のコンデンサの電圧は、$v_C(0)=E[V]$なので、
$t=0$　　　………(13)
$v_C(0)=E$　　　………(14)
この２つの初期条件が得られます。

$\begin{eqnarray} v_C(0)&=&v_{Ct}+v_{Cs} \\ &=&ke^{st}+0 \\ &=&ke^0 \\ &=&k　　　………(15) \end{eqnarray}$

(14)式、(15)式から
$k=E$　　　………(16)
が求まります。

(16)式を(12)式に代入すると、
$\displaystyle v_C=Ee^{-\frac{1}{RC}t}$　　　………(17)

時定数経過した時、すなわち$t=τ=RC$のとき、
$\displaystyle v_C=Ee^{-1}=\frac{E}{e}=\frac{E}{2.718}=0.368E$　　　………(18)

要点整理の適用

（１）回路の時定数は、$C$の値$[F]$に比例する。
　　　要点整理(９)式
　　　$\displaystyle τ=\frac{1}{s}=RC$　………(9)
　　　時定数$τ$は、$C$の値に比例しますので正しいです。

（２）コンデンサの端子電圧$v_C[V]$は、$R$の値$[Ω]$が大きいほど緩やかに減少する。
　　　時定数$τ[s]$の数字が大きいほど、変化は緩やかになります。
　　　要点整理(９)式
　　　$\displaystyle τ=\frac{1}{s}=RC$　………(9)
　　　したがって、時定数$τ$は、$R$の値に比例して大きくなります。
　　　そして、$τ$大きくなると緩やかになりますので、正しいです。

（３）時刻$t=0s$から回路の時定数だけ時間が経過すると、コンデンサの端子電圧$v_C[V]$は直流電源の電圧$E[V]$の$0.368$倍に減少する。
時定数経過した時、すなわち$t=τ$のとき、要点整理の(18)式
　　　$\displaystyle v_C=Ee^{-1}=\frac{E}{e}=\frac{E}{2.718}=0.368E$　　　………(18)
　　　したがって、正しいです。

（４）抵抗の端子電圧$v_R[V]$の値は負である。
　　　回路方程式は
　　　$v_R+v_C=0$
　　　であるため、
　　　$v_R=-v_C$となります。
　　　したがって、負となりますので正しいです。

（５）時刻$t=0s$における回路の電流$i[A]$は、$C$の値$[F]$に関係する。
　　　時刻$t=0s$になった瞬間は、コンデンサは電圧$v_C=E$の電源として考えられます。
　　　この時、回路の電流$i[A]$は、抵抗のオームの法則のみに従うので、
　　　$E=iR$
　　　⇔$\displaystyle i=\frac{E}{R}$
　　　となります。したがって、$C$の値には無関係ですので誤っています。

以上より、（５）が回答となります。

出典元

令和５年度第三種電気主任技術者試験　理論科目Ａ問題下期問１０

参考書