【電験三種：理論】令和４年度上期　問８

(a)　スイッチSが開いているときの計算
(1)　インピーダンスの大きさ\(Z_o\)を計算する

スイッチSが開いているときは、コイルにも電流が流れるので、RL直列回路となります。

RL直列回路のインピーダンス\(\dot{Z_o}\)は、
\(\dot{Z_o}=R+j2πfL\)

インピーダンスの大きさ\(Z\)は、
\(Z_o=\sqrt{R^2+(2πfL)^2}\)

(2)　回路に流れる電流の大きさ\(I_o\)を計算する

\(\displaystyle I_o=\frac{E}{Z_o}=\frac{E}{\sqrt{R^2+(2πfL)^2}}\)

(3)　消費電力\(P_o\)を計算する

消費電力は、抵抗Rでのみ消費され、コイルでは消費されません。
したがって、抵抗Rに電流\(I_o\)が流れた時の電力を求めればよいので、次の通り求まります。
\(\displaystyle P_o=I_o^2R=\frac{E^2}{R^2+(2πfL)^2}R\)

(b)　スイッチSが閉じているときの計算
(4)　インピーダンスの大きさ\(Z_c\)を計算する

スイッチSが閉じているときは、全ての電流がスイッチSを通るためコイルには電流が流れません。
したがって、Rのみの回路となります。

R回路のインピーダンス\(\dot{Z_c}\)は、
\(\dot{Z_c}=R\)

インピーダンスの大きさ\(Z_c\)は、
\(Z_c=R\)

(5)　回路に流れる電流の大きさ\(I_c\)を計算する

\(\displaystyle I_c=\frac{E}{Z_c}=\frac{E}{R}\)

(6)　消費電力\(P_c\)を計算する

消費電力は、抵抗Rに電流\(I_c\)が流れた時の電力を求めればよいので、次の通り求まります。
\(\displaystyle P_c=I_c^2R=\frac{E^2}{R^2}R\)

(c)　\(P_o\)・\(P_c\)を比較する

(3)から、\(\displaystyle P_o=I_o^2R=\frac{E^2}{R^2+(2πfL)^2}R\)

(6)から、\(\displaystyle P_c=I_c^2R=\frac{E^2}{R^2}R\)

問題文の条件から、\(\displaystyle P_o=\frac{1}{2}P_c\)

\(\displaystyle \frac{E^2}{R^2+(2πfL)^2}R=\frac{1}{2}\frac{E^2}{R^2}R\)

⇔\(\displaystyle \frac{1}{R^2+(2πfL)^2}=\frac{1}{2R^2}\)

⇔\(\displaystyle 2R^2=R^2+(2πfL)^2\)

⇔\(\displaystyle R=2πfL\)

⇔\(\displaystyle L=\frac{R}{2πf}\)

以上より、（２）\(\displaystyle \frac{R}{2πf}\)　が正しいです。

イラストがとても多く、視覚的に理解しやすいので、初学者に、お勧めなテキストです。