【電験三種：理論】令和４年度上期　問１７

（ａ）の解答の流れ
(1)$C_2$の静電容量を$C_1$で表す
(2)電荷$Q=CV$の式から比誘電率$ε_r$を求める

(1)$C_2$の静電容量を$C_1$で表す

コンデンサの真空の誘電率を$ε_0[F/m]$とします。
コンデンサ$C_2$の金属板の面積を$S[m^2]$とします。
コンデンサ$C_1$、$C_2$の金属板間の距離を$d[m]$とします。

この時のコンデンサ$C_1$の静電容量は、次式で表されます。
$\displaystyle C_1=ε_0\frac{2S}{d}$

⇔$\displaystyle ε_0\frac{S}{d}=\frac{1}{2}C_1$

次に、コンデンサ$C_2$の静電容量は、次式で表されます。
$\displaystyle C_2=ε_rε_0\frac{S}{d}=\frac{1}{2}ε_rC_1$　…①

(2)電荷$Q=CV$の式から比誘電率$ε_r$を求める

直列接続されたコンデンサ$C_1$、$C_2$に蓄えられる電荷量$Q[C]$は同じです。したがって、２つのコンデンサは次式で表されます。

$Q=C_1V_1=C_2V_2$　…②

電圧源$120V$に接続されていて、コンデンサ $C_1$ の両端の電圧$V_1=80 V$ なので、コンデンサ $C_2$ の両端の電圧は$V_2=120-80=40 V$です。

②式に①式と各電圧を代入します。

$C_1V_1=C_2V_2$

⇔　$\displaystyle 80C_1=40・\frac{1}{2}ε_rC_1$

⇔　$ε_r=4$

以上より、（ａ）問題の答えは（４）4　が答えです。

（ｂ）の解答の流れ
①コンデンサ$C_2$の静電容量を求める
②直列接続されたコンデンサの式から合成容量の値を求める

①コンデンサ$C_2$の静電容量を求める

(a)問題で求めた①式に、問題文のコンデンサ$C_1$の静電容量$C_1=30μF$を代入します。
$\displaystyle C_2=\frac{1}{2}ε_rC_1=\frac{1}{2}・4・30=60μF$

②直列接続されたコンデンサの式から合成容量の値を求める

直列接続された２つのコンデンサ$C_1$、$C_2$の静電容量の合成容量$C$は、
$\displaystyle \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}=\frac{1}{20}$

⇔　$C=20μF$

以上より、（ｂ）問題の答えは（２）20　が答えです。

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