概要
コンデンサの静電容量に関する計算問題です。
基礎レベルであるため、確実に回答していきたい問題です。
キーワード
コンデンサ、静電容量、比誘電率、コンデンサの直列接続
問題
図のように直列に接続された二つの平行平板コンデンサに \(120 V\) の電圧が加わっている。
コンデンサ \(C_1\) の金属板間は真空であり、コンデンサ \(C_2\) の金属板間には比誘電率 \(ε_r\) の誘電体が挿入されている。
コンデンサ \(C_1\) , \(C_2\) の金属板間の距離は等しく, \(C_1\) の金属板の面積は \(C_2\) の2 倍である。
このとき,コンデンサ \(C_1\) の両端の電圧が \(80 V\) であった。
次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし,コンデンサの端効果は無視できるものとする。

(a) コンデンサ \(C_2\) の誘電体の比誘電率 \(ε_r\) の値として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5
(b) \(C_1\) の静電容量が \(30μF\) のとき, \(C_1\) と \(C_1\) の合成容量の値\([ μF ]\)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
(1) 10 (2) 20 (3) 30 (4) 40 (5) 50
答え
(a)(4)
(b)(2)
解説テキスト リンク
回答解説
(a)の解答の流れ
(1)\(C_2\)の静電容量を\(C_1\)で表す
(2)電荷\(Q=CV\)の式から比誘電率\(ε_r\)を求める
(1)\(C_2\)の静電容量を\(C_1\)で表す
コンデンサの真空の誘電率を\(ε_0[F/m]\)とします。
コンデンサ\(C_2\)の金属板の面積を\(S[m^2]\)とします。
コンデンサ\(C_1\)、\(C_2\)の金属板間の距離を\(d[m]\)とします。
この時のコンデンサ\(C_1\)の静電容量は、次式で表されます。
\(\displaystyle C_1=ε_0\frac{2S}{d}\)
⇔\(\displaystyle ε_0\frac{S}{d}=\frac{1}{2}C_1\)
次に、コンデンサ\(C_2\)の静電容量は、次式で表されます。
\(\displaystyle C_2=ε_rε_0\frac{S}{d}=\frac{1}{2}ε_rC_1\) …①
(2)電荷\(Q=CV\)の式から比誘電率\(ε_r\)を求める
直列接続されたコンデンサ\(C_1\)、\(C_2\)に蓄えられる電荷量\(Q[C]\)は同じです。したがって、2つのコンデンサは次式で表されます。
\(Q=C_1V_1=C_2V_2\) …②
電圧源\(120V\)に接続されていて、コンデンサ \(C_1\) の両端の電圧\(V_1=80 V\) なので、コンデンサ \(C_2\) の両端の電圧は\(V_2=120-80=40 V\)です。
②式に①式と各電圧を代入します。
\(C_1V_1=C_2V_2\)
⇔ \(\displaystyle 80C_1=40・\frac{1}{2}ε_rC_1\)
⇔ \(ε_r=4\)
以上より、(a)問題の答えは(4)4 が答えです。
(b)の解答の流れ
①コンデンサ\(C_2\)の静電容量を求める
②直列接続されたコンデンサの式から合成容量の値を求める
①コンデンサ\(C_2\)の静電容量を求める
(a)問題で求めた①式に、問題文のコンデンサ\(C_1\)の静電容量\(C_1=30μF\)を代入します。
\(\displaystyle C_2=\frac{1}{2}ε_rC_1=\frac{1}{2}・4・30=60μF\)
②直列接続されたコンデンサの式から合成容量の値を求める
直列接続された2つのコンデンサ\(C_1\)、\(C_2\)の静電容量の合成容量\(C\)は、
\(\displaystyle \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}=\frac{1}{20}\)
⇔ \(C=20μF\)
以上より、(b)問題の答えは(2)20 が答えです。
出典元
一般財団法人電気技術者試験センター (https://www.shiken.or.jp/index.html)
令和4年度上期 第三種電気主任技術者試験 理論科目B問題問17
参考書
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