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【電験三種:理論】令和4年度上期 問17

電験三種令和4年度上期理論問17 令和4年度上期

概要

コンデンサの静電容量に関する計算問題です。
基礎レベルであるため、確実に回答していきたい問題です。

キーワード
コンデンサ、静電容量、比誘電率、コンデンサの直列接続

 

問題

図のように直列に接続された二つの平行平板コンデンサに 120 V の電圧が加わっている。

コンデンサ C_1 の金属板間は真空であり、コンデンサ C_2 の金属板間には比誘電率 ε_r の誘電体が挿入されている。

コンデンサ C_1C_2 の金属板間の距離は等しく, C_1 の金属板の面積は C_2 の2 倍である。
このとき,コンデンサ C_1 の両端の電圧が 80 V であった。

次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし,コンデンサの端効果は無視できるものとする。

 

(a) コンデンサ C_2 の誘電体の比誘電率 ε_r の値として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
(1) 1    (2) 2    (3) 3    (4) 4    (5) 5

 


(b) C_1 の静電容量が 30μF のとき, C_1C_1 の合成容量の値[ μF ]として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
(1) 10    (2) 20    (3) 30    (4) 40    (5) 50

 

答え

(a)(4)
(b)(2)

解説テキスト リンク

コンデンサ

 

回答解説

(a)の解答の流れ
(1)C_2の静電容量をC_1で表す
(2)電荷Q=CVの式から比誘電率ε_rを求める

(1)C_2の静電容量をC_1で表す

コンデンサの真空の誘電率をε_0[F/m]とします。
コンデンサC_2の金属板の面積をS[m^2]とします。
コンデンサC_1C_2の金属板間の距離をd[m]とします。

この時のコンデンサC_1の静電容量は、次式で表されます。
\displaystyle C_1=ε_0\frac{2S}{d}

\displaystyle ε_0\frac{S}{d}=\frac{1}{2}C_1

次に、コンデンサC_2の静電容量は、次式で表されます。
\displaystyle C_2=ε_rε_0\frac{S}{d}=\frac{1}{2}ε_rC_1 …①

  


(2)電荷Q=CVの式から比誘電率ε_rを求める

直列接続されたコンデンサC_1C_2に蓄えられる電荷量Q[C]は同じです。したがって、2つのコンデンサは次式で表されます。

Q=C_1V_1=C_2V_2 …②

電圧源120Vに接続されていて、コンデンサ C_1 の両端の電圧V_1=80 V なので、コンデンサ C_2 の両端の電圧はV_2=120-80=40 Vです。

②式に①式と各電圧を代入します。

C_1V_1=C_2V_2

⇔ \displaystyle 80C_1=40・\frac{1}{2}ε_rC_1

⇔ ε_r=4

以上より、(a)問題の答えは(4)4 が答えです。

 

(b)の解答の流れ
①コンデンサC_2の静電容量を求める
②直列接続されたコンデンサの式から合成容量の値を求める

①コンデンサC_2の静電容量を求める

(a)問題で求めた①式に、問題文のコンデンサC_1の静電容量C_1=30μFを代入します。
\displaystyle C_2=\frac{1}{2}ε_rC_1=\frac{1}{2}・4・30=60μF


②直列接続されたコンデンサの式から合成容量の値を求める

直列接続された2つのコンデンサC_1C_2の静電容量の合成容量Cは、
\displaystyle \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}=\frac{1}{20}

⇔ C=20μF

以上より、(b)問題の答えは(2)20 が答えです。

 

 

出典元

一般財団法人電気技術者試験センター (https://www.shiken.or.jp/index.html)
令和4年度上期 第三種電気主任技術者試験 理論科目B問題問17

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