【電験三種：理論】令和４年度上期　問１７

（ａ）の解答の流れ
(1)\(C_2\)の静電容量を\(C_1\)で表す
(2)電荷\(Q=CV\)の式から比誘電率\(ε_r\)を求める

(1)\(C_2\)の静電容量を\(C_1\)で表す

コンデンサの真空の誘電率を\(ε_0[F/m]\)とします。
コンデンサ\(C_2\)の金属板の面積を\(S[m^2]\)とします。
コンデンサ\(C_1\)、\(C_2\)の金属板間の距離を\(d[m]\)とします。

この時のコンデンサ\(C_1\)の静電容量は、次式で表されます。
\(\displaystyle C_1=ε_0\frac{2S}{d}\)

⇔\(\displaystyle ε_0\frac{S}{d}=\frac{1}{2}C_1\)

次に、コンデンサ\(C_2\)の静電容量は、次式で表されます。
\(\displaystyle C_2=ε_rε_0\frac{S}{d}=\frac{1}{2}ε_rC_1\)　…①

(2)電荷\(Q=CV\)の式から比誘電率\(ε_r\)を求める

直列接続されたコンデンサ\(C_1\)、\(C_2\)に蓄えられる電荷量\(Q[C]\)は同じです。したがって、２つのコンデンサは次式で表されます。

\(Q=C_1V_1=C_2V_2\)　…②

電圧源\(120V\)に接続されていて、コンデンサ \(C_1\) の両端の電圧\(V_1=80 V\) なので、コンデンサ \(C_2\) の両端の電圧は\(V_2=120-80=40 V\)です。

②式に①式と各電圧を代入します。

\(C_1V_1=C_2V_2\)

⇔　\(\displaystyle 80C_1=40・\frac{1}{2}ε_rC_1\)

⇔　\(ε_r=4\)

以上より、（ａ）問題の答えは（４）4　が答えです。

（ｂ）の解答の流れ
①コンデンサ\(C_2\)の静電容量を求める
②直列接続されたコンデンサの式から合成容量の値を求める

①コンデンサ\(C_2\)の静電容量を求める

(a)問題で求めた①式に、問題文のコンデンサ\(C_1\)の静電容量\(C_1=30μF\)を代入します。
\(\displaystyle C_2=\frac{1}{2}ε_rC_1=\frac{1}{2}・4・30=60μF\)

②直列接続されたコンデンサの式から合成容量の値を求める

直列接続された２つのコンデンサ\(C_1\)、\(C_2\)の静電容量の合成容量\(C\)は、
\(\displaystyle \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}=\frac{1}{20}\)

⇔　\(C=20μF\)

以上より、（ｂ）問題の答えは（２）20　が答えです。

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