【電験三種：理論】令和４年度下期　問６

概要

直流回路に直列・並列接続されたコンデンサの容量、エネルギー、電荷量の問題です。
基本問題なので、確実な回答が求められます。

キーワード
コンデンサ、直列接続、並列接続、静電容量、静電エネルギー

　

問題

電圧\(E [V]\)の直流電源と静電容量\(C [F]\)の二つのコンデンサを接続した図１、図２ のような二つの回路に関して、誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　

(1) 図１の回路のコンデンサの合成静電容量は、図２の回路の４倍である。

(2) コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーは、図１の回路の方が図２の回路より大きい。

(3) 図２の回路に、さらに静電容量C [F]のコンデンサを直列に二つ追加して、四つのコンデンサが直列になるようにすると、コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーが図１と等しくなる。

(4) 図２の回路の電源電圧を２倍にすると、コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーが図１の回路と等しくなる。

(5) 図１のコンデンサ一つ当たりに蓄えられる電荷は、図２のコンデンサ一つ当たりに蓄えられる電荷の２倍である。

　

　

　

答え

(３)

解説テキスト　リンク

　

回答解説

問題文に出てくる各回路の合成静電容量と、静電エネルギーを求めます
①図１のコンデンサの合成静電容量\(C_p\)
　\(C_p=C+C=2C[F]\)

②図１のコンデンサの静電エネルギー\(U_p\)
　\(\displaystyle U_p=\frac{1}{2}C_pE^2=CE^2[J]\)

③図２のコンデンサの合成静電容量\(C_s\)
　\(\displaystyle \frac{1}{C_s}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C}=\frac{2}{C}[F]\)　⇔　\(\displaystyle C_s=\frac{1}{2}C[F]\)

④図２のコンデンサの静電エネルギー\(U_s\)
　\(\displaystyle U_s=\frac{1}{2}C_sE^2=\frac{1}{4}CE^2[J]\)

⑤４つのコンデンサを直列接続したときの合成静電容量\(C_{s4}\)
　\(\displaystyle \frac{1}{C_s}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C}+\frac{1}{C}+\frac{1}{C}=\frac{4}{C}[F]\)
　⇔　\(\displaystyle C_s=\frac{1}{4}C[F]\)

⑥４つのコンデンサを直列接続したときの静電エネルギー\(U_{s4}\)
　\(\displaystyle U_{s4}=\frac{1}{2}C_{s4}E^2=\frac{1}{8}CE^2[J]\)

(1) 図１の回路のコンデンサの合成静電容量は、図２の回路の４倍である。
①の\(C_p=2C\)と、③の\(\displaystyle C_s=\frac{1}{2}C\)の比較です。
\(\displaystyle \frac{C_p}{C_s}=\frac{2C}{\frac{1}{2}C}=4\)

以上より、図１の回路のコンデンサの合成静電容量は、図２の回路の４倍で正しいです。

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(2) コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーは、図１の回路の方が図２の回路より大きい。
②の\(U_p=CE^2\)と、④の\(\displaystyle U_s=\frac{1}{4}CE^2\)の比較です。
\(\displaystyle \frac{U_p}{U_s}=\frac{CE^2}{\frac{1}{4}CE^2}=4\)

以上より、コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーは、図１の回路の方が図２の回路より大きいため正しいです。

(3) 図２の回路に、さらに静電容量C [F]のコンデンサを直列に二つ追加して、四つのコンデンサが直列になるようにすると、コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーが図１と等しくなる。
②の\(U_p=CE^2\)と、⑥の\(\displaystyle U_{s4}=\frac{1}{8}CE^2\)の比較です。
\(\displaystyle \frac{U_{s4}}{U_p}=\frac{\frac{1}{8}CE^2}{CE^2}=\frac{1}{8}\)

以上より、四つのコンデンサが直列になるようにしたときのエネルギーは、図１の\(\frac{1}{8}\)倍となるので間違いです。

(4) 図２の回路の電源電圧を２倍にすると、コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーが図１の回路と等しくなる。
電源電圧を２倍にした時の静電エネルギーを\(U’_s\)とすると、
\(\displaystyle U’_s=\frac{1}{2}C_s(2E)^2=CE^2\)

②の\(\displaystyle U_p=CE^2\)と比較をします。
\(\displaystyle \frac{U’_s}{U_p}=\frac{CE^2}{CE^2}=1\)

以上より、\(U’_s=U_p\)となって等しいので正しいです。

(5) 図１のコンデンサ一つ当たりに蓄えられる電荷は、図２のコンデンサ一つ当たりに蓄えられる電荷の２倍である。
図１のコンデンサ一つの静電容量は\(C\)、コンデンサにかかる電圧は\(E\)なので、
コンデンサ一つ当たりに蓄えられる電荷\(Q_{p1}\)は、\(Q_{p1}=CE\)

図２のコンデンサ一つの静電容量は\(C\)、コンデンサにかかる電圧は\(\frac{1}{2}E\)なので、
コンデンサ一つ当たりに蓄えられる電荷\(Q_{s1}\)は、\(Q_{s1}=\frac{1}{2}CE\)

比較をすると、
\(\displaystyle \frac{Q_{p1}}{Q_{s1}}=\frac{CE}{\frac{1}{2}CE}=2\)

以上より、図１のコンデンサ一つ当たりに蓄えられる電荷は、図２のコンデンサ一つ当たりに蓄えられる電荷の２倍で正しいです。

　

　

　

出典元

一般財団法人電気技術者試験センター　（https://www.shiken.or.jp/index.html）
令和４年度下期　第三種電気主任技術者試験　理論科目Ａ問題問６

参考書