【電験三種：理論】令和３年度　問９

(a)　RLC直列回路の計算
(1)　共振状態の電流を計算する

RLC直列回路のインピーダンス\(\dot{Z}\)は、
\(\dot{Z}=R+jωL+\frac{1}{jωC}\)
⇔\(\dot{Z}=R+j(ωL-\frac{1}{ωC})\)　…①

共振状態という条件は、式中の虚数項(\(j\)の項)が０になることを表すので、①式中の共振条件は、次式となります。
\(ωL-\frac{1}{ωC}=0\)　…②

②式を①式に代入すると、
\(\dot{Z}=R\)　…③

オームの法則から電流を求めると、
\(\displaystyle i=\frac{v}{\dot{Z}}=\frac{v}{R}\)

(2)　Lの端子間電圧\(V_L\)を計算する

Lの端子間電圧\(V_L\)は、コイルのリアクタンスが\(jωL\)なので、
\(\displaystyle V_L=jωLi=jωL\frac{v}{R}\)

(3)　Cの端子間電圧\(V_C\)を計算する

Cの端子間電圧\(V_C\)は、コンデンサのリアクタンスが\(\frac{1}{jωC}=-j\frac{1}{ωC}\)なので、
\(\displaystyle V_C=-j\frac{i}{ωC}=-j\frac{v}{ωCR}\)

(4)　まとめ　⇒　（a）の解答

Lの端子間電圧\(V_L\)は、\(\displaystyle V_L=jωL\frac{v}{R}\)

Cの端子間電圧\(V_C\)は、\(\displaystyle V_C=-j\frac{v}{ωCR}\)

であることから、LとCの端子間電圧の大きさはともに０ではありません。　⇒　(a)は誤り

(b)　RLC並列回路の計算
(5)　共振状態の電流を計算する

RLC並列回路のインピーダンス\(\dot{Z}\)は、
\(\displaystyle \frac{1}{\dot{Z}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{jωL}+\frac{1}{\frac{1}{jωC}}\)

⇔\(\displaystyle \frac{1}{\dot{Z}}=\frac{1}{R}-j\frac{1}{ωL}+jωC\)

⇔\(\displaystyle \frac{1}{\dot{Z}}=\frac{1}{R}+j(ωC-\frac{1}{ωL})\)　…①

共振状態という条件は、式中の虚数項(\(j\)の項)が０になることを表すので、①式中の共振条件は、次式となります。
\(\displaystyle ωC-\frac{1}{ωL}=0\)　…②

②式を①式に代入すると、
\(\displaystyle \frac{1}{\dot{Z}}=\frac{1}{R}\)

⇔　\(\dot{Z}=R\)　…③

オームの法則から電流を求めると、
\(\displaystyle i=\frac{v}{\dot{Z}}=\frac{v}{R}\)

(6)　Lに流れる電流\(I_L\)を計算する

Lの端子間電圧\(V_L\)は、電源電圧\(v\)なので、Lに流れる電流\(I_L\)は、
\(\displaystyle I_L=\frac{V_L}{jωL}=-j\frac{V_L}{ωL}\)

(7)　Cに流れる電流\(I_C\)を計算する

Cの端子間電圧\(V_C\)は、電源電圧\(v\)なので、Cに流れる電流\(I_C\)は、
\(\displaystyle I_C=\frac{V_C}{\frac{1}{jωC}}=jωCv\)

(8)　まとめ　⇒　（b）の解答

Lに流れる電流\(I_L\)は、\(\displaystyle I_L=-j\frac{V_L}{ωL}\)

Cに流れる電流\(I_C\)は、\(I_C=jωCv\)

であることから、LとCに電流は流れます。　⇒　(b)は誤り

(c)　(1)・(5)を比較する　⇒　（c）の解答

共振状態の電流は、(1)も(5)も、共に
\(\displaystyle i=\frac{v}{\dot{Z}}=\frac{v}{R}\)
したがって、RLC直列回路の共振状態において交流電圧源を流れる電流は、RLC並列回路の共振状態において交流電圧源を流れる電流と等しい。　⇒　(c)は正しい

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