【電験三種：理論】令和３年度　問９

(a)　RLC直列回路の計算
(1)　共振状態の電流を計算する

RLC直列回路のインピーダンス$\dot{Z}$は、
$\dot{Z}=R+jωL+\frac{1}{jωC}$
⇔$\dot{Z}=R+j(ωL-\frac{1}{ωC})$　…①

共振状態という条件は、式中の虚数項($j$の項)が０になることを表すので、①式中の共振条件は、次式となります。
$ωL-\frac{1}{ωC}=0$　…②

②式を①式に代入すると、
$\dot{Z}=R$　…③

オームの法則から電流を求めると、
$\displaystyle i=\frac{v}{\dot{Z}}=\frac{v}{R}$

(2)　Lの端子間電圧$V_L$を計算する

Lの端子間電圧$V_L$は、コイルのリアクタンスが$jωL$なので、
$\displaystyle V_L=jωLi=jωL\frac{v}{R}$

(3)　Cの端子間電圧$V_C$を計算する

Cの端子間電圧$V_C$は、コンデンサのリアクタンスが$\frac{1}{jωC}=-j\frac{1}{ωC}$なので、
$\displaystyle V_C=-j\frac{i}{ωC}=-j\frac{v}{ωCR}$

(4)　まとめ　⇒　（a）の解答

Lの端子間電圧$V_L$は、$\displaystyle V_L=jωL\frac{v}{R}$

Cの端子間電圧$V_C$は、$\displaystyle V_C=-j\frac{v}{ωCR}$

であることから、LとCの端子間電圧の大きさはともに０ではありません。　⇒　(a)は誤り

(b)　RLC並列回路の計算
(5)　共振状態の電流を計算する

RLC並列回路のインピーダンス$\dot{Z}$は、
$\displaystyle \frac{1}{\dot{Z}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{jωL}+\frac{1}{\frac{1}{jωC}}$

⇔$\displaystyle \frac{1}{\dot{Z}}=\frac{1}{R}-j\frac{1}{ωL}+jωC$

⇔$\displaystyle \frac{1}{\dot{Z}}=\frac{1}{R}+j(ωC-\frac{1}{ωL})$　…①

共振状態という条件は、式中の虚数項($j$の項)が０になることを表すので、①式中の共振条件は、次式となります。
$\displaystyle ωC-\frac{1}{ωL}=0$　…②

②式を①式に代入すると、
$\displaystyle \frac{1}{\dot{Z}}=\frac{1}{R}$

⇔　$\dot{Z}=R$　…③

オームの法則から電流を求めると、
$\displaystyle i=\frac{v}{\dot{Z}}=\frac{v}{R}$

(6)　Lに流れる電流$I_L$を計算する

Lの端子間電圧$V_L$は、電源電圧$v$なので、Lに流れる電流$I_L$は、
$\displaystyle I_L=\frac{V_L}{jωL}=-j\frac{V_L}{ωL}$

(7)　Cに流れる電流$I_C$を計算する

Cの端子間電圧$V_C$は、電源電圧$v$なので、Cに流れる電流$I_C$は、
$\displaystyle I_C=\frac{V_C}{\frac{1}{jωC}}=jωCv$

(8)　まとめ　⇒　（b）の解答

Lに流れる電流$I_L$は、$\displaystyle I_L=-j\frac{V_L}{ωL}$

Cに流れる電流$I_C$は、$I_C=jωCv$

であることから、LとCに電流は流れます。　⇒　(b)は誤り

(c)　(1)・(5)を比較する　⇒　（c）の解答

共振状態の電流は、(1)も(5)も、共に
$\displaystyle i=\frac{v}{\dot{Z}}=\frac{v}{R}$
したがって、RLC直列回路の共振状態において交流電圧源を流れる電流は、RLC並列回路の共振状態において交流電圧源を流れる電流と等しい。　⇒　(c)は正しい

イラストがとても多く、視覚的に理解しやすいので、初学者に、お勧めなテキストです。