【電験三種：理論】令和３年度　問１７

（ａ）の解答の流れ
①各誘電体内部の電界の強さを求めて比較する
②コンデンサAの全体の静電容量$C_A$を求める
③$Q=CV$から、各コンデンサに帯電する電荷量$Q$を求める
④$E_{A1}$の式に電荷量を代入する

①各誘電体内部の電界の強さを求めて比較する

電界の強さの式は$E=\frac{Q}{εS}$です。
直列接続されたコンデンサの表面電荷は、等しいので、

$E_{A1}=\frac{Q}{2ε_0S}$
$E_{A2}=\frac{Q}{3ε_0S}$
$E_{A3}=\frac{Q}{6ε_0S}$

以上より、$E_{A1}>E_{A2}>E_{A3}$であることが分かります。

②コンデンサAの全体の静電容量$C_A$を求める

静電容量の式は、$C=ε\frac{Q}{d}$なので、各誘電体の静電容量を求めていきます。
$\displaystyle C_{A1}=2ε_0\frac{S}{\frac{d}{6}}=12ε_0\frac{S}{d}$

$\displaystyle C_{A2}=3ε_0\frac{S}{\frac{d}{3}}=9ε_0\frac{S}{d}$

$\displaystyle C_{A3}=6ε_0\frac{S}{\frac{d}{2}}=12ε_0\frac{S}{d}$

コンデンサAの全体の静電容量$C_A$は、３つのコンデンサの直列接続として考えられるので、
$\displaystyle \frac{1}{C_A}=\frac{1}{C_{A1}}+\frac{1}{C_{A2}}+\frac{1}{C_{A3}}$

⇔$\displaystyle \frac{1}{C_A}=\frac{5d}{18ε_0S}$

⇔$\displaystyle C_A=\frac{18ε_0S}{5d}$

③$Q=CV$から、各コンデンサに帯電する電荷量$Q$を求める

$\displaystyle Q=C_AV=\frac{18ε_0S}{5d}V$

④$E_{A1}$の式に電荷量を代入する

$E_{A1}=\frac{Q}{2ε_0S}=\frac{18ε_0S}{5d}\frac{V}{2ε_0S}=\frac{9V}{5d}$

以上より、（ａ）問題の答えは（４）$E_{A1}>E_{A2}>E_{A3},\frac{9V}{5d}$　が答えです。

（ｂ）の解答の流れ
①コンデンサＡの全体の蓄積エネルギー$W_A[J]$を求める
②コンデンサＢの全体の静電容量$C_B[F]$を求める
③コンデンサＢの全体の蓄積エネルギー$W_B[J]$を求める
④$\frac{W_A}{W_B}$を求める

①コンデンサＡの全体の蓄積エネルギー$W_A[J]$を求める

コンデンサAの全体の静電容量$C_A$は、(a)問題で求めた通りです。
$\displaystyle C_A=\frac{18ε_0S}{5d}$

蓄積エネルギーの式は、$W=\frac{1}{2}CV^2$なので、
$\displaystyle W_A=\frac{1}{2}\frac{18ε_0S}{5d}V^2=\frac{9ε_0S}{5d}V^2$

②コンデンサＢの全体の静電容量$C_B[F]$を求める

コンデンサBの各誘電体の静電容量を求めていきます。
$\displaystyle C_{B1}=2ε_0\frac{\frac{S}{6}}{d}=ε_0\frac{S}{3d}$

$\displaystyle C_{B2}=3ε_0\frac{\frac{S}{3}}{d}=ε_0\frac{S}{d}$

$\displaystyle C_{B3}=6ε_0\frac{\frac{S}{2}}{d}=3ε_0\frac{S}{d}$

コンデンサBの全体の静電容量$C_B$は、３つのコンデンサの並列接続として考えられるので、
$\displaystyle C_B=C_{B1}+C_{B2}+C_{B3}=\frac{13ε_0S}{3d}$

③コンデンサＢの全体の蓄積エネルギー$W_B[J]$を求める

コンデンサBの蓄積エネルギーは、
$\displaystyle W_B=\frac{1}{2}C_BV^2=\frac{1}{2}\frac{13ε_0S}{3d}V^2=\frac{13ε_0S}{6d}V^2$

④$\frac{W_A}{W_B}$を求める

$\displaystyle \frac{W_A}{W_B}=\frac{\frac{9ε_0S}{5d}V^2}{\frac{13ε_0S}{6d}V^2}=\frac{54}{65}=0.83$

以上より、（ｂ）問題の答えは（２）0.83　が答えです。

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