概要
RLC並列接続時の交流の電流計算の問題です。
並列回路のインピーダンスの合成、合成されたインピーダンスの大きさの求め方を理解していれば解答できます。
RLC回路は、計算量が多くて取っ付きづらい問題が多いですが、この問題は比較的解答しやすい問題です。
キーワード
並列回路のインピーダンス、インピーダンスの大きさ、複素数
問題
図は、実効値が\(1V\)で角周波数\(ω[krad/s]\)が変化する正弦波交流電源を含む回路である。
いま、\(ω\)の値が\(ω_1=5krad/s\)、\(ω_2=10krad/s\)、\(ω_3=30krad/s\)と３通りの場合を考え、
\(ω=ω_k(k=1,2,3)\)のときの電流\(i[A]\)の実効値を\(I_k\)と表すとき、\(I_1,I_2,I_3\)の大小関係として、正しいものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。
（１）\(I_1<I_2<I_3\)
（２）\(I_1=I_2<I_3\)
（３）\(I_2<I_1<I_3\)
（４）\(I_2<I_1=I_3\)
（５）\(I_3<I_2<I_1\)
答え
(３)
解説テキスト リンク
交流回路
関連箇所直リンク
・RLC並列回路
回答解説
解答の流れ
① インピーダンス\(Z\)の式を求める
② \(ω_1\)を代入して電流の大きさ\(|I_1|\)を求める
③ \(ω_2\)を代入して電流の大きさ\(|I_2|\)を求める
④ \(ω_3\)を代入して電流の大きさ\(|I_3|\)を求める
① インピーダンス\(Z\)の式を求める
抵抗\(R\)、コンデンサ\(C\)、インダクタンス\(L\)が並列接続されているので、そのインピーダンス\(Z\)を計算します。
\(\displaystyle \frac{1}{Z}=\frac{1}{R}+jωc+\frac{1}{jωL}\)
⇔\(\displaystyle \frac{1}{Z}=\frac{1}{R}+j \frac{ω^2LC-1}{ωL}\)
② \(ω_1\)を代入して電流の大きさ\(|I_1|\)を求める
\(ω_1=5krad/s=5×10^3rad/s\)を代入します。
・\(R=100kΩ=10^5Ω\)
・\(ωC=(5×10^3)×(10×10^{-6})=5^{-2}=0.05Ω\)
・\(ωL=(5×10^3)×(1×10^{-3})=5Ω\)
⇒\(ω^2LC=0.05×5=0.25\)
\(\displaystyle \frac{1}{Z_1}=\frac{1}{10^5}+j \frac{0.25-1}{5}=10^{-5}-j 0.15\)
オームの法則から、\(I_1\)を求める。
\(\displaystyle I_1=\frac{V}{Z_1}=\frac{1}{Z_1}=10^{-5}-j 0.15\)
\(I_1\)の大きさ\(|I_1|\)を求める。
\(|I_1|=\sqrt{(10^{-5})^2+0.15^2}≒0.15A\)
③ \(ω_2\)を代入して電流の大きさ\(|I_2|\)を求める
\(ω_2=10krad/s=10^4rad/s\)を代入します。
・\(R=100kΩ=10^5Ω\)
・\(ωC=(10^4)×(10×10^{-6})=10^{-1}=0.1Ω\)
・\(ωL=(10^4)×(1×10^{-3})=10Ω\)
⇒\(ω^2LC=0.1×10=1\)
\(\displaystyle \frac{1}{Z_2}=\frac{1}{10^5}+j \frac{1-1}{10}=10^{-5}+j 0\)
オームの法則から、\(I_2\)を求める。
\(\displaystyle I_2=\frac{V}{Z_2}=\frac{1}{Z_2}=10^{-5}\)
\(I_2\)の大きさ\(|I_2|\)を求める。
\(|I_2|=\sqrt{(10^{-5})^2+0}=10^{-5}≒0A\)
④ \(ω_3\)を代入して電流の大きさ\(|I_3|\)を求める
\(ω_3=30krad/s=3×10^4rad/s\)を代入します。
・\(R=100kΩ=10^5Ω\)
・\(ωC=(3×10^4)×(10×10^{-6})=3×10^{-1}=0.3Ω\)
・\(ωL=(3×10^4)×(1×10^{-3})=30Ω\)
⇒\(ω^2LC=0.3×30=9\)
\(\displaystyle \frac{1}{Z_3}=\frac{1}{10^5}+j \frac{9-1}{30}=10^{-5}+j 0.267\)
オームの法則から、\(I_3\)を求める。
\(\displaystyle I_1=\frac{V}{Z_3}=\frac{1}{Z_3}=10^{-5}+j 0.267\)
\(I_3\)の大きさ\(|I_3|\)を求める。
\(|I_3|=\sqrt{(10^{-5})^2+0.267^2}≒0.267A\)
④ 計算結果を比較する
\(|I_1|≒0.15A\)
\(|I_2|≒0A\)
\(|I_3|≒0.267A\)
以上より、（３）\(I_2<I_1<I_3\)と求まりました。
出典元
一般財団法人電気技術者試験センター （https://www.shiken.or.jp/index.html）
令和１年度 第三種電気主任技術者試験 理論科目Ａ問題問９
参考書
イラストがとても多く、視覚的に理解しやすいので、初学者に、お勧めなテキストです。
問題のページよりも、解説のページ数が圧倒的に多い、初学者に向けの問題集です。
問題集は、解説の質がその価値を決めます。解説には分かりやすいイラストが多く、始めて電気に触れる人でも取り組みやすいことでしょう。
本ブログの管理人は、電験３種過去問マスタを使って電験３種を取りました。
この問題集の解説は、要点が端的にまとまっていて分かりやすいのでお勧めです。
ある程度学んで基礎がある人に向いています。
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