【電験三種：理論】令和１年度　問９

① インピーダンス$Z$の式を求める

抵抗$R$、コンデンサ$C$、インダクタンス$L$が並列接続されているので、そのインピーダンス$Z$を計算します。

$\displaystyle \frac{1}{Z}=\frac{1}{R}+jωc+\frac{1}{jωL}$

⇔$\displaystyle \frac{1}{Z}=\frac{1}{R}+j \frac{ω^2LC-1}{ωL}$

② $ω_1$を代入して電流の大きさ$|I_1|$を求める

$ω_1=5krad/s=5×10^3rad/s$を代入します。
・$R=100kΩ=10^5Ω$
・$ωC=(5×10^3)×(10×10^{-6})=5^{-2}=0.05Ω$
・$ωL=(5×10^3)×(1×10^{-3})=5Ω$
　⇒$ω^2LC=0.05×5=0.25$

$\displaystyle \frac{1}{Z_1}=\frac{1}{10^5}+j \frac{0.25-1}{5}=10^{-5}-j 0.15$

オームの法則から、$I_1$を求める。
$\displaystyle I_1=\frac{V}{Z_1}=\frac{1}{Z_1}=10^{-5}-j 0.15$

$I_1$の大きさ$|I_1|$を求める。
$|I_1|=\sqrt{(10^{-5})^2+0.15^2}≒0.15A$

③ $ω_2$を代入して電流の大きさ$|I_2|$を求める

$ω_2=10krad/s=10^4rad/s$を代入します。
・$R=100kΩ=10^5Ω$
・$ωC=(10^4)×(10×10^{-6})=10^{-1}=0.1Ω$
・$ωL=(10^4)×(1×10^{-3})=10Ω$
　⇒$ω^2LC=0.1×10=1$

$\displaystyle \frac{1}{Z_2}=\frac{1}{10^5}+j \frac{1-1}{10}=10^{-5}+j 0$

オームの法則から、$I_2$を求める。
$\displaystyle I_2=\frac{V}{Z_2}=\frac{1}{Z_2}=10^{-5}$

$I_2$の大きさ$|I_2|$を求める。
$|I_2|=\sqrt{(10^{-5})^2+0}=10^{-5}≒0A$

④ $ω_3$を代入して電流の大きさ$|I_3|$を求める

$ω_3=30krad/s=3×10^4rad/s$を代入します。
・$R=100kΩ=10^5Ω$
・$ωC=(3×10^4)×(10×10^{-6})=3×10^{-1}=0.3Ω$
・$ωL=(3×10^4)×(1×10^{-3})=30Ω$
　⇒$ω^2LC=0.3×30=9$

$\displaystyle \frac{1}{Z_3}=\frac{1}{10^5}+j \frac{9-1}{30}=10^{-5}+j 0.267$

オームの法則から、$I_3$を求める。
$\displaystyle I_1=\frac{V}{Z_3}=\frac{1}{Z_3}=10^{-5}+j 0.267$

$I_3$の大きさ$|I_3|$を求める。
$|I_3|=\sqrt{(10^{-5})^2+0.267^2}≒0.267A$

④ 計算結果を比較する

$|I_1|≒0.15A$
$|I_2|≒0A$
$|I_3|≒0.267A$

以上より、（３）$I_2<I_1<I_3$と求まりました。