概要
静電界の問題です。
(a)は、電気力線の性質についての理解を問う問題です。冷静に問題文を読んで、図を見れば簡単に解けると思います。
(b)は、電荷の移動の仕事の計算問題です。負電荷が与えられているので、位置エネルギーについての理解をしていれば解けます。
キーワード
静電界、電気力線、位置エネルギー、電位差
問題
図のように、平らで十分大きい導体でできた床から高さ\(h[m]\)の位置に正の電気量\(Q[C]\)をもつ点電荷がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし、点電荷から床に下ろした垂線の足を点Ｏ、床より上側の空間は真空とし、床の導体は接地されている。真空の誘電率を\(ε_0[F/m]\)とする。
(a)床より上側の電界は、点電荷のつくる電界と、床の表面に静電誘導によって現れた面電荷のつくる電界との和になる。
床より上側の電気力線の様子として、適切なものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(b)点電荷は床表面に現れた面電荷から鉛直方向の静電吸引力\(F[N]\)を受ける。
その力は床のない状態で点Ｏに固定した電気量\(-\frac{Q}{4}[C]\)の点電荷から受ける静電力に等しい。
\(F[N]\)に逆らって、点電荷を高さ\(h[m]\)から\(z[m]\)（ただし\(h<z\)）まで鉛直方向に引き上げるのに必要な仕事\(W[J]\)を表す式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1)\(\displaystyle \frac{Q^2}{4πε_0z^2}\)
(2)\(\displaystyle \frac{Q^2}{4πε_0} \left( \frac{1}{h}-\frac{1}{z} \right)\)
(3)\(\displaystyle \frac{Q^2}{16πε_0} \left( \frac{1}{h}-\frac{1}{z} \right)\)
(4)\(\displaystyle \frac{Q^2}{16πε_0z^2}\)
(5)\(\displaystyle \frac{Q^2}{πε_0} \left( \frac{1}{h^2}-\frac{1}{z^2} \right)\)
答え
(a)５
(b)３
解説テキスト リンク
問(a)
問(b)
回答解説
(a)
導体でできた床は、床全体の電位が同じになります。
つまり、導体でできた床＝等電位面と考えることができます。
電気力線の性質から、電気力線と等電位面は直交するので、電気力線は床に垂直に交わります。
このような線となっているのは、(4)と(5)の２つのみです。
(4)は、外部から一様な電界が加えられているときの電気力線の様子です。
左図の赤の点線で示した電気力線が外部電界の電気力線です。
問題文には外部から電界が加えられているとはかかれていないため間違いです。
(5)は、電気力線が導体でできた床に垂直に交わっており、電気力線の性質を満たすため、(5)が正しいです。
復習がてら、電気力線の性質を下に列挙します。
電気力線の性質
・＋電荷から出て、－電荷に入る
・電荷の無い所からは発生も消失もしない
・電気力線は交わらない
・電気力線は枝分かれしない
・電気力線は途切れない
・電気力線と等電位面は直交する
・電界の方向は電気力線の接線方向
(b)
床表面に現れた面電荷\(\displaystyle -\frac{Q}{4}\)が、正の電荷\(Q[C]\)の位置に作る電界強度\(E[V/m]\)は、距離を\(r[m]\)とすると、
\(\displaystyle E=\frac{\frac{-Q}{4}}{4πε_0r^2}=\frac{-Q}{16πε_0r^2}\)
\(\displaystyle ΔV=\int_h^z E dz=\int_h^z \frac{Q}{16πε_0r^2}dz\)
⇔ \(\displaystyle ΔV=\frac{Q}{16πε_0}\left[ -\frac{1}{r} \right]_h^z\)
⇔ \(\displaystyle ΔV=\frac{Q}{16πε_0}\left( \frac{1}{h}-\frac{1}{z} \right)\)
電位差\(ΔV\)が求まったので、仕事\(W[J]\)を求めます。
\(\displaystyle W=QΔV=\frac{Q^2}{16πε_0}\left( \frac{1}{h}-\frac{1}{z} \right)\)
以上より、(3)\(\displaystyle \frac{Q^2}{16πε_0} \left( \frac{1}{h}-\frac{1}{z} \right)\)が答えとなります。
出典元
一般財団法人電気技術者試験センター （https://www.shiken.or.jp/index.html）
令和１年度 第三種電気主任技術者試験 理論科目B問題問１５
参考書
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問題集は、解説の質がその価値を決めます。解説には分かりやすいイラストが多く、始めて電気に触れる人でも取り組みやすいことでしょう。
本ブログの管理人は、電験３種過去問マスタを使って電験３種を取りました。
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ある程度学んで基礎がある人に向いています。
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