【電験三種：理論】令和１年度　問１０

(a)過渡解析をする
①RC回路の\(v(t)\)について微分方程式を立てる
回路中を流れる電流を\(i[A]\)とします。
電流の定義式から、次の電流\(i\)と電荷\(q\)の関係式が出せます。
\(\displaystyle i=\frac{dq}{dt}\)

コンデンサの電荷、静電容量、電圧の関係式から
\(q=cv\)

電流と電荷の関係式に代入すると、
\(\displaystyle i=C \frac{dv}{dt}\)

回路の方程式は、次式となります。
\(0=Ri+v\)
⇔　\(\displaystyle 0=CR\frac{dv}{dt}+v\)

②過渡状態を解析して時定数を導出する
コンデンサ電圧の過渡解を\(v_t\)とします。
\(v_t=ke^{-st}\)
としたとき、\(v_t\)を微分すると、
\(\displaystyle \frac{dv_t}{dt}=-ske^{-st}\)

過渡解を求める方程式は、
\(0=ke^{-st}-CRske^{-st}=(1-CRs)ke^{-st}\)

上式が成り立つ条件は、
\(\displaystyle s=\frac{1}{CR}\)
です。

時定数\(τ\)は、過渡解の式中の\(e^{-st}\)が\(e^{-1}\)となるときの時間であるため、
\(\displaystyle τ=\frac{1}{s}=CR=100×10^{-6}・10^3=0.1[s]\)

したがって、時定数\(τ=0.1s\)と求まりました。

(b)消費エネルギーを計算する
③スイッチを閉じる前の静電エネルギーを求める
スイッチを閉じる前のコンデンサに蓄えられている静電エネルギー\(W_1[J]\)は、
\(\displaystyle W_1=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}×100×10^{-6}×(10^3)^2=50J\)

④スイッチを閉じた後の静電エネルギーを求める
スイッチを閉じて十分時間が経った後は、コンデンサの電圧\(v=0V\)となるため、コンデンサに蓄えられている静電エネルギー\(W_2[J]\)は、
\(\displaystyle W_2=0J\)

⑤スイッチを閉じる前後の静電エネルギーの差から、抵抗で消費されたエネルギーを求める
スイッチを閉じた後、コンデンサに蓄えられていた静電エネルギーは、全て抵抗で消費されます。
そのため、スイッチを閉じる前後の静電エネルギーの差を求めることで、抵抗で消費されるエネルギー\(W\)を求めることができます。
\(W=W_1-W_2=50-0=50J\)

イラストがとても多く、視覚的に理解しやすいので、初学者に、お勧めなテキストです。