オペアンプ（正帰還回路）

２つの入力の電位差\(V_e\)は、反転入力\(V_{in-}\)、非反転入力\(V_{in+}\)としたとき、
\(V_e=V_{in+}-V_{in-}\)
です。

出力電圧\(V_{out}\)は、利得を\(A[dB]\)としたとき、
\(V_{out}=AV_e\)
です。

①入力の電位差\(V_e\)を\(A[dB]\)増幅する。
\(V_{out}=AV_e\)

②増幅された出力\(V_{out}\)を、\(V_{in+}\)にフィードバックする。

③\(V_{in+}\)が増幅される。
\(V_{in+}=V_{out}\)

④増幅された\(V_{in+}\)によって、入力の電位差\(V_e\)が大きくなる。
\(V_e=V_{in+}-V_{in-}\)

⑤ ①～④が繰り返される。その結果、
\(V_{in+}>V_{in-}\)の場合
　\(V_{out}=+\)側の電源電圧となる。（＋側の増幅の限界）

\(V_{in+}<V_{in-}\)の場合
　\(V_{out}=-\)側の電源電圧となる。（－側の増幅の限界）

以上のことから、飽和が起きます。

ループ利得\(AH\)が次の２つの条件を満たすことが発振条件です。
振幅条件：\(Re(AH)>1\)
周波数条件：\(Im(AH)=0\)

発振動作の振幅条件

次のような、オペアンプの正帰還回路を考えます。

\(A\)はオペアンプの電圧利得で、\(H\)は帰還率です。

出力\(v_o\)が帰還率\(H\)倍した後、オペアンプで\(A\)倍されて帰ってくると、\(v_o\)は\(AH\)倍されます。
この\(AH\)は帰還回路を一巡したときの利得であり、ループ利得と呼びます。

ループ利得\(AH=1\)のとき、出力電圧\(v_0\)が帰還して増幅された結果が１倍となるので、減衰も、増幅もしません。
ループ利得\(AH>1\)のとき、出力電圧\(v_0\)が帰還して増幅された結果が１倍よりも大きくなるので、増幅していきます。

出力電圧\(v_o\)は、飽和するまで増幅するため、\(AH≧1\)のときに発振します。

発振動作の周波数条件

\(Im(AH)\)は、ループ利得\(AH\)の虚数部分です。
ループ利得\(AH\)の虚数部分が０でないとき、つまり、\(Im(AH≠0)\)のときは、ループする信号の位相が位相差角分ずれていきます。
その結果、ループ信号は反転し、減衰させる方向に働いてしまうため、\(Im(AH≠0)\)のときは発振することが出来ません。
そのため、\(Im(AH=0)\)が発振条件となります。

回路の概要

動作概要
発振条件を満たすとき、次の特定の発振周波数で出力\(V_{out}\)が発振する回路です。

発振周波数
\(\displaystyle f[Hz]=\frac{1}{2π \sqrt{C_1C_2R_1R_2}}\)

発振条件
\(\displaystyle 1+\frac{C_1}{C_2}+\frac{R_2}{R_1}=\frac{R_3+R_4}{R_3}\)

回路構成と動作例

ウィーンブリッジ回路の回路構成

次の①・②の二つの回路から構成されます。
①正帰還回路（バンドパスフィルタ）
オペアンプの出力\(V_{out}\)を、\(R_1\)、\(R_2\)、\(C_1\)、\(C_2\)からなるバンドパスフィルタを通し、非反転入力\(V_{in+}\)に正帰還した回路

②負帰還回路（非反転増幅回路）
オペアンプの出力\(V_{out}\)を、\(R_3\)、\(R_4\)を通した非反転増幅回路を反転入力\(V_{in-}\)に負帰還した回路

ウィーンブリッジ回路の解析

(1)正帰還回路（バンドパスフィルタ）の解析

\(V_{out}\)からバンドパスフィルタを通って正帰還した、\(V_{in+}\)の信号について解析します。

まずは、合成インピーダンス\(Z_1\)、\(Z_2\)を求めます。
\(\displaystyle \frac{1}{Z_1}=\frac{1}{R_1}+jωC_1\)　⇔　\(\displaystyle Z_1=\frac{R_1}{1+jωC_1R_1}\)

\(\displaystyle Z_2=R_2+\frac{1}{jωC_2}\)

次に、\(V_{in+}\)を求めます。
\(\displaystyle V_{in+}=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}V_{out}=\frac{\frac{R_1}{1+jωC_1R_1}}{\frac{R_1}{1+jωC_1R_1}+\frac{1}{jωC_2}+R_2}V_{out}\)

⇔\(\displaystyle V_{in+}=\frac{R_1}{R_1+\frac{1+jωC_1R_1}{jωC_2}+R_2+jωC_1R_1R_2}V_{out}\)

⇔\(\displaystyle V_{in+}=\frac{jωC_2R_1}{jωC_2R_1+1+jωC_1R_1+jωC_2R_2-ω^2C_1C_2R_1R_2}V_{out}\)

⇔\(\displaystyle V_{in+}=\frac{jωC_2R_1}{(1-ω^2C_1C_2R_1R_2)+jω(C_1R_1+C_2R_1+C_2R_2)}V_{out}\)

⇔\(\displaystyle V_{in+}=\frac{1}{\frac{1-ω^2C_1C_2R_1R_2}{jωC_2R_1}+\frac{C_1R_1+C_2R_1+C_2R_2}{C_2R_1}}V_{out}\)

⇔\(\displaystyle V_{in+}=\frac{1}{j(ωC_1R_2-\frac{1}{ωC_2R_1})+(1+\frac{C_1}{C_2}+\frac{R_2}{R_1})}V_{out}\)　…①

(2)負帰還回路（非反転増幅回路）の解析

\(V_{out}\)から非反転増幅回路を通って負帰還した\(V_{in-}\)の信号について解析します。
\(\displaystyle V_{in-}=\frac{R_3}{R_3+R_4}V_{out}\)　…②

(3)発振周波数の導出
発振周波数は①式の虚数項が0になる周波数です。したがって、
\(\displaystyle ωC_1R_2-\frac{1}{ωC_2R_1}=0\)　⇔　\(\displaystyle ω=\frac{1}{\sqrt{C_1C_2R_1R_2}}\)

\(ω=2πf\)なので、発振周波数は次のように求まります。
\(\displaystyle f=\frac{1}{2π\sqrt{C_1C_2R_1R_2}}\)

(4)発振条件の導出
発振条件は、①式=②式です。
(3)で求めた、虚数項が0となる条件を満たすとき、①式の実数項＝②式となれば発振条件が満たせます。
この実数項の条件を計算すると、次のように求まります。
\(\displaystyle \frac{1}{1+\frac{C_1}{C_2}+\frac{R_2}{R_1}}V_{out}=\frac{R_3}{R_3+R_4}V_{out}\)

⇔\(\displaystyle 1+\frac{C_1}{C_2}+\frac{R_2}{R_1}=\frac{R_3+R_4}{R_3}\)

以上より、ウィーンブリッジ発振回路の発振周波数と発振条件が導出できました。

(5)条件の追加（\(R=R_1=R_2\)、\(C=C_1=C_2\)のとき）
この時、発振周波数と発振条件は次のようになります。
発振周波数
\(\displaystyle ω=\frac{1}{CR}\)

発振条件
\(\displaystyle 1+\frac{C_1}{C_2}+\frac{R_2}{R_1}=1+1+1=\frac{R_3+R_4}{R_3}\)
⇔　\(R_4=2R_3\)

コンパレータとは

コンパレータは、比較器とも呼ばれ、
\(V_{in+}>V_{in-}\)のとき、\(V_{out}=V_{cc}\)
\(V_{in+}<V_{in-}\)のとき、\(V_{out}=V_{dd}\)
となる動作をします。

コンパレータとオペアンプは、かなり似た素子です。
大きな違いは、オペアンプは帰還することを前提に設計されているのに対し、コンパレータは負帰還しないことを前提に設計されていることから、位相補償回路が不要となる点です。
位相補償回路は動作を遅くさせる回路であるため、これが無いことで、オペアンプに比べて高速で動作します。
他にも、様々な違いはありますが、低い周波数の回路では、オペアンプをコンパレータとして使用することが可能な場合もあります。注意深く設計する必要があるため、あまり推奨はされませんが。
　

ヒステリシスコンパレータの概要

ヒステリシスコンパレータとは、ヒステリシス動作をするコンパレータです。
ヒステリシスとは、出力\(V_{out}\)の２つ状態のそれぞれに、切り替わるための閾値を用意することです。
\(V_{out}\)が\(0V→V_{cc}\)に切り替わるタイミングは、+閾値を超えた時に切り替わります。
\(V_{out}\)が\(V_{cc}→0V\)に切り替わるタイミングは、－閾値を超えた時に切り替わります。
ヒステリシスコンパレータの動作を示すと、次の図の通りになります。

ヒステリシスコンパレータを使う理由

ヒステリシスコンパレータを使う理由は、チャタリングを防ぐためです。
チャタリングとは、入力が\(V_{in+}≒V_{in-}\)のときに、出力が\(V_{out}=V_{cc}\)、\(V_{out}=V_{dd}\)を激しく行ったり来たりしてしまう現象です。

コンパレータを使用した場合のチャタリングの例です。

ヒステリシスコンパレータに変更すると、次のようになり、チャタリングが解消されます。

ヒステリシスコンパレータの回路構成

オペアンプの出力\(V_{out}\)を増幅回路のように抵抗\(R_2\)を通して非反転入力\(V_{in+}\)にフィードバックします。
また、非反転入力\(V_{in+}\)から抵抗\(R_1\)を通してリファレンス電圧\(V_{ref}\)にも接続します。

リファレンス電圧\(V_{ref}\)は、抵抗分圧や、DAC(デジタルアナログコンバータ)等を使用して作られます。

　

イラストがとても多く、視覚的に理解しやすいので、初学者に、お勧めなテキストです。