点電荷

電束も、電気力線も、電荷から放射状に広がります。

\(\displaystyle N=\frac{Q}{ε_0}\)　…①
この①式は、便宜的に決めた式であり、①式自体に深い意味はありません。

では、便宜的とは何か。それは、ガウスの法則の式において、
\(\displaystyle \oint_S EdS=\frac{Q}{ε_0}\)　…②

②式の右辺に便宜的に決めた①式を代入すると、次のように簡略化できるためです。
\(\displaystyle \oint_S EdS=N\)　…③

次に、積分の形だとわずらわしいので、
\(\oint_S EdS=ES\)　
と展開すると、③式は次のように変形できます。
\(ES=N\)　⇒　\(\displaystyle E=\frac{N}{S}\)

この式から、電界強度\(E[V/m]\)は、電気力線の本数\(N\)[本]の密度であると言えます。

電位の式について導出します。

点電荷の作る電界の電界強度\(E[V/m]\)は、ガウスの法則から、
\(\displaystyle E=\frac{Q}{4πε_0r^2}[V/m]\)　…①

この電界中で、単位電荷\(1[C]\)を基点から対象点まで移動させたときの電位を求めます。
このとき、
　・基　点：無限遠点（∞）
　・対象点：距離\(r[m]\)
とします。

電位\(V[V]\)と電界\(E[V/m]\)の関係式に①式を代入すると、
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
V&=&-\int_{基点}^{対象点}E dr = -\int_{∞}^{r}\frac{Q}{4πε_0r^2} dr = \frac{Q}{4πε_0}\left[ \frac{1}{r} \right]_∞^r \\
&=& \frac{Q}{4πε_0}\left( \frac{1}{r}-\frac{1}{∞}\right) = \frac{Q}{4πε_0r}
\end{eqnarray}\)
以上、\(\displaystyle V=\frac{Q}{4πε_0r}\)が導出できました。

補足：電位差の導出
基点を無限遠点とせず、
・基　点：\(r_b[m]\)のとき、\(V_b[V]\)
・対象点：\(r_a[m]\)のとき、\(V_a[V]\)
とした場合、電位差\(V_{ab}=V_a-V_b\)になることついて導出します。

\(\displaystyle \begin{eqnarray}
V&=&-\int_{基点}^{対象点}E dr = -\int_{r_b}^{r_a} \frac{Q}{4πε_0r^2} dr = \frac{Q}{4πε_0}\left[ \frac{1}{r} \right]_{r_b}^{r_a} \\
&=& \frac{Q}{4πε_0}\left( \frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right) = \frac{Q}{4πε_0r_a}-\frac{Q}{4πε_0r_b} = V_a-V_b
\end{eqnarray}\)

以上より、電位差\(V_{ab}=V_a-V_b\)が導出できました。

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