力学的エネルギー

運動エネルギーの導出

仕事\(W\)の定義式は、次式です。
\(\displaystyle W=\int_{x_0}^{x_1}Fdx\)
\(x_0=0\)、\(x_1=x\)として、次のように書き変えます。
\(\displaystyle W=\int_{0}^{x}Fdx\)　…①

力\(F\)は、質量\(m\)、加速度\(a\)を使い、運動方程式から次式で表されます。
\(F=ma\)　…②

加速度\(a\)は、速度\(v\)の時間に対する変化の割合なので、
\(\displaystyle a=\frac{dv}{dt}\)　…③

①式に②・③式を代入すると、
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
W&=&\int_{0}^{x}Fdx=\int_{0}^{x}madx=\int_{0}^{x}m\frac{dv}{dt}dx \\ \\
&=&\int_{0}^{v}m\frac{dx}{dt}dv=\int_{0}^{v}mvdv=\left[ \frac{1}{2}mv^2 \right]_{0}^{v}=\frac{1}{2}mv^2
\end{eqnarray}\)

位置エネルギーの導出

仕事\(W\)の定義式は、次式です。
\(\displaystyle W=\int_{0}^{h}Fdy\)　…①

力\(F\)は、質量\(m\)、重力加速度\(g\)を使い、運動方程式から次式で表されます。
\(F=mg\)　…②

重力加速度\(g\)は、常に一定です。

①式に②・③式を代入すると、
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
W&=&\int_{0}^{h}Fdy=\int_{0}^{h}mgdy \\ \\
&=&\left[ mgy \right]_{0}^{h}=mgh
\end{eqnarray}\)

イラストがとても多く、視覚的に理解しやすいので、初学者に、お勧めなテキストです。