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高調波を含む交流回路の電力の計算

高調波を含む交流回路の電力の計算 交流回路

概要

電験三種の理論の問題で、高調波を含む交流回路の電力を求める問題があります。

基本周波数\(ωt\)の電圧、電流が流れている他、n次高調波\(nωt\)の電圧、電流が流れているとしたときの平均電力の計算の求め方について解説します。

本頁の内容は、三角関数、積分を多く使用し、手順が多くて煩雑です。
電験三種の勉強が一通り終わって100点を目指すために難問に挑む人であれば、本頁の学習をお勧めします。60点を目指して一通り学習中の人は、他の項目を学習することをお勧めします。

 

交流回路の電力(平均電力)の条件と結論

目的
交流回路の一周期\(T\)の間の平均電力\(P_{av}\)を求めていきます。

条件
交流回路中に流れている電圧、電流は、
・基本周波数\(ωt\)の電圧の瞬時値\(v_1(t)=\sqrt{2}V_1sin(ωt+α_1)\)
・基本周波数\(ωt\)の電流の瞬時値\(i_1(t)=\sqrt{2}I_1sin(ωt+β_1)\)
・n次高調波\(nωt\)の電圧の瞬時値\(v_n(t)=\sqrt{2}V_nsin(3ωt+α_n)\)
・n次高調波\(nωt\)の電流の瞬時値\(i_n(t)=\sqrt{2}I_nsin(3ωt+β_n)\)
とします。
このとき、\(V\)は電圧の実効値\(I\)は電流の実行値\(α\)と\(β\)は位相差です。

この時の平均電力を
・\(P_{av11}\):基本周波数\(ωt\)の電圧と基本周波数\(ωt\)の電流の一周期の平均電力
・\(P_{avnn}\):n次高調波\(nωt\)の電圧とn次高調波\(nωt\)の電流の一周期の平均電力
・\(P_{av1n}\):基本周波数\(ωt\)の電圧とn次高調波\(nωt\)の電流の一周期の平均電力
・\(P_{avn1}\):n次高調波\(nωt\)の電圧と基本周波数\(ωt\)の電流の一周期の平均電力

とします。

結論
①基本周波数の電圧と電流の一周期の平均電力\(P_{av11}\)は、
 \(P_{av11}=V_1I_1cos(α_1-β_1)\)

②n次高調波の電圧と電流の一周期の平均電力は、
 \(P_{avnn}=V_nI_ncos(α_n-β_n)\)

③異なる周波数の電圧と電流の一周期の平均電力は、
 \(P_{av1n}=P_{avn1}=0\)

 

同じ周波数の平均電力の計算

条件
周波数\(ωt\)の電圧の瞬時値\(v(t)\)と、周波数\(ωt\)の電流の瞬時値\(i(t)\)は下記の通りとします。また、電圧の実効値を\(V[V]\)、電流の実効値を\(I[A]\)とします。

\(\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{1}
v(t) = \sqrt{2}Vsin(ωt+α) \\
i(t) = \sqrt{2}Isin(ωt+β)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}\)

 

電力の瞬時値\(p(t)\)
\(p(t)=v(t)・i(t)=\sqrt{2}Vsin(ωt+α)・\sqrt{2}Isin(ωt+β)\)
⇔ \(p(t)=2VI sin(ωt+α)sin(ωt+β)\)   …①

①式に三角関数の加法定理を適用すると、
\(p(t)=VI\Big(cos\big((ωt+α)-(ωt+β)\big)-cos\big((ωt+α)+(ωt+β)\big)\Big)\)
⇔ \(p(t)=VI\Big(cos(α-β)-cos(2ωt+α+β)\Big)\)   ………②
となり、電力の瞬時値が求まります。

 

一周期の平均電力\(P_{av}\)
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
P_{av}&=&\frac{1}{T}\int_{0}^{T} p(t)dt \\
&=&\frac{1}{T}\int_{0}^{T} VI(cos(α-β)-cos(2ωt+α+β))dt \\
&=&\frac{VI}{T}\int_{0}^{T} cos(α-β)dt – \frac{VI}{T}\int_{0}^{T} cos(2ωt+α+β)dt \\
&=&\frac{VI}{T}cos(α-β) \left[ t \right]_0^T – \frac{VI}{T} \left[ \frac{sin(2ωt+α+β)}{2ω} \right]_0^T \\
&=&VIcos(α-β)-\frac{VI}{2ωT}\Big( sin(2ωT+α+β)-sin(0+α+β) \Big)   …③
\end{eqnarray}\)

 

角周波数\(ω\)と周波数\(f\)の関係は、\(ω=2πf\)であり、
周期\(T\)と周波数\(f\)の関係から、
\(\displaystyle T=\frac{1}{f}=\frac{2π}{ω}\)   ………④

③式に④式を代入すると、
\(\displaystyle P_{av}=VIcos(α-β)-\frac{VI}{4π}\Big( sin(4π+α+β)-sin(0+α+β)\Big) \)   ………⑤


\(sin(4π+α+β)=sin(α+β)\)   ………⑥
なので、⑤式に⑥式を代入すると、右側の項が消えるので、
\(\displaystyle P_{av}=VIcos(α-β)\)   ………⑦

上記の計算は、周波数が\(ωt\)のn倍であるn次高調波(\(nωt\))でも成り立ちますので、
\(P_{av11}=VIcos(α-β)\)
\(P_{avnn}=VIcos(α-β)\)
が成り立ちます。

【参考】三角関数の加法定理
\(\displaystyle sinAsinB=\frac{cos(A-B)-cos(A+B)}{2}\)

 

異なる周波数の平均電力の計算

条件
3次高調波\(3ωt\)の電圧\(v_3(t)\)と、基本波\(ωt\)の電流\(i_1(t)\)の平均電力\(P_{av31}\)を求めます。なお、電圧の実効値を\(V[V]\)、電流の実効値を\(I[A]\)とします。

\(\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{1}
v_3(t) = \sqrt{2}Vsin(3ωt+α) \\
i_1(t) = \sqrt{2}Isin(ωt+β)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}\)

 

電力の瞬時値\(p_{31}(t)\)
\(p(t)=v_3(t)・i_1(t)=\sqrt{2}Vsin(3ωt+α)・\sqrt{2}Isin(ωt+β)\)
⇔\(p(t)=2VI sin(3ωt+α)sin(ωt+β)\)   ………①

①式に三角関数の加法定理を適用すると、
\(p(t)=VI\Big(cos\big((3ωt+α)-(ωt+β)\big)-cos\big((3ωt+α)+(ωt+β)\big)\Big)\)
⇔ \(p(t)=VI\Big(cos(2ωt+α-β)-cos(4ωt+α+β)\Big)\)   ………②
となり、電力の瞬時値が求まります。

 

一周期の平均電力\(P_{av31}\)
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
P_{av31}&=&\frac{1}{T}\int_{0}^{T} p(t)dt \\
&=&\frac{1}{T}\int_{0}^{T} VI(cos(2ωt+α-β)-cos(4ωt+α+β))dt \\
&=&\frac{VI}{T}\int_{0}^{T} cos(2ωt+α-β)dt – \frac{VI}{T}\int_{0}^{T} cos(4ωt+α+β)dt \\
&=&\frac{VI}{T} \left[ \frac{sin(2ωt+α-β)}{2ω} \right]_0^T – \frac{VI}{T} \left[ \frac{sin(4ωt+α+β)}{4ω} \right]_0^T \\
&=&\frac{VI}{2ωT}\Big( sin(2ωT+α-β)-sin(0+α-β) \Big) \\
&&   -\frac{VI}{4ωT}\Big( sin(4ωT+α+β)-sin(0+α+β) \Big)   …③
\end{eqnarray}\)

 

角周波数\(ω\)と周波数\(f\)の関係は、\(ω=2πf\)であり、
周期\(T\)と周波数\(f\)の関係から、
\(\displaystyle T=\frac{1}{f}=\frac{2π}{ω}\)   ………④

③式に④式を代入すると、
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
P_{av31}&=&\frac{VI}{4π}\Big( sin(4π+α-β)-sin(0+α-β)\Big) \\
&&   -\frac{VI}{8π}\Big( sin(8π+α+β)-sin(0+α+β)\Big)    …⑤
\end{eqnarray}\)


\(sin(4π+α-β)=sin(α-β)\)   ………⑥
\(sin(8π+α+β)=sin(α+β)\)   ………⑦
なので、⑤式に⑥・⑦式を代入すると、
\(\displaystyle P_{av31}=0\)   ………

したがって、異なる周波数を持つ電圧の瞬時値\(v(t)\)と、電流の瞬時値\(i(t)\)の平均電力\(P_{av}\)は、\(0\)となります。

上記の計算は、電圧の瞬時値\(v(t)\)、電流の瞬時値\(i(t)\)の周波数が逆でも成り立ちます。
また、上記では基本波と3次高調波で計算しましたが、電圧の瞬時値\(v(t)\)、電流の瞬時値\(i(t)\)が他の周波数、
\(\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{1}
v_n(t) = \sqrt{2}Vsin(nωt+α) \\
i_m(t) = \sqrt{2}Isin(mωt+β)   (n≠m)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}\)
としても成り立ちます。

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